5. Analitik Düzlem

12 Temmuz 2026

27 dakika

1.342 görüntüleme

Bir haritada bir yerin konumunu nasıl buluruz? Analitik düzlemde de bir noktanın yerini iki sayıyla gösteririz. Böylece sayılarla şekiller arasında bağlantı kurar, iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplar ve bir denklemi grafik olarak görebiliriz. Yapay zekâda verileri noktalar, benzerlikleri uzaklıklar üzerinden, sınıflandırma kararlarını ise sınırlar olarak düşünürken aynı gösterimden yararlanırız. Bu makalede koordinat sistemini bildiğimiz bir harita gibi okuyarak başlayacağız. Ardından noktaları, doğru parçalarını, ışınları, doğruları, eğimi ve doğru denklemlerini adım adım inceleyeceğiz.

Sayılar Nasıl Bir Haritaya Dönüşür?

Bir arkadaşımıza “Kafenin önünde buluşalım” diyebiliriz. Kafenin yerini bir harita üzerinde tarif ederken ise ne kadar sağa ya da sola, ne kadar yukarı ya da aşağı gideceğini söylememiz gerekir.

Analitik düzlem de aynı düşünceyle çalışır. Düz bir yüzey üzerindeki her konumu iki sayıyla tarif eder:

Birinci sayı sağa veya sola ne kadar gidileceğini gösterir.
İkinci sayı yukarı veya aşağı ne kadar gidileceğini gösterir.

Bu iki sayıyla noktanın yerini kesin biçimde belirtiriz. Noktaların koordinatları uzaklıkları, yönleri ve doğruları hesaplamamızı da sağlar.

Fonksiyonlar makalesinde bir fonksiyonun girdiyi çıktıya dönüştürdüğünü görmüştük. Analitik düzlemde bu girdi ve çıktıyı bir nokta olarak gösterebiliriz: $f(2)=5$ eşitliği $(2,5)$ noktasına karşılık gelir.

Koordinat Sistemi ve Eksenler

Analitik düzlemi oluşturmak için birbirini dik kesen iki sayı doğrusu kullanırız.

Yatay sayı doğrusuna $x$ ekseni denir.
Dikey sayı doğrusuna $y$ ekseni denir.

Bu iki eksenin kesiştiği noktaya başlangıç noktası veya orijin denir. Orijinin koordinatları $(0,0)$'dır.

Her eksendeki sayıların işareti yönü belirtir:

$x$ ekseninde sağ taraf pozitif, sol taraf negatiftir.
$y$ ekseninde üst taraf pozitif, alt taraf negatiftir.

Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. Bu bölgelere bölge veya çeyrek düzlem (quadrant) denir ve saat yönünün tersine doğru numaralandırılır.

Analitik düzlemde dört bölge ve koordinat işaretleri

Bölge	$x$'in İşareti	$y$'nin İşareti	Örnek Nokta
I. Bölge	Pozitif	Pozitif	$(2,3)$
II. Bölge	Negatif	Pozitif	$(-2,3)$
III. Bölge	Negatif	Negatif	$(-2,-3)$
IV. Bölge	Pozitif	Negatif	$(2,-3)$

Eksen üzerindeki noktalar dört bölgeden hiçbirine girmez. Örneğin $(0,4)$ noktası $y$ ekseninde, $(-3,0)$ noktası $x$ eksenindedir. Orijin de bir bölgeye ait değildir.

Bir Noktanın Adresi: Sıralı İkili

Düzlemdeki bir noktayı $(x,y)$ biçiminde gösteririz. Buna sıralı ikili denir. Sayıların yerini değiştirirsek noktanın yeri de değişir.

$$ (2,3)\neq(3,2) $$

Bir noktayı yerleştirirken her zaman aynı sırayı izleriz:

Önce $x$ değerini okur, yatay yönde ilerleriz.
Sonra $y$ değerini okur, dikey yönde ilerleriz.

Örneğin $A=(2,3)$ noktası için orijinden başlayıp iki birim sağa, ardından üç birim yukarı gideriz. $B=(-2,-3)$ noktası için ise iki birim sola ve üç birim aşağı gideriz.

A eşittir 2 virgül 3 ve B eşittir eksi 2 virgül eksi 3 noktalarının koordinat düzlemindeki yerleri

Noktanın adını genellikle büyük harfle yazarız:

$$ P=(x,y) $$

Burada $x$, noktanın yatay konumunu; $y$ ise dikey konumunu gösterir. Bunlara sırasıyla noktanın $x$ koordinatı ve $y$ koordinatı denir.

Koordinat okurken en yaygın hata $x$ ile $y$'nin yerini değiştirmektir. Küçük bir hatırlatma işe yarar: Önce yatay hareket, sonra dikey hareket; yani önce $x$, sonra $y$.

Aynı İki Sayı, İki Farklı Bakış

Daha önce vektörleri incelerken iki sayıyı köşeli parantez içinde göstermiştik:

$$ \mathbf{v}= \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} $$

Analitik düzlemde ise $P=(2,3)$ noktasını görüyoruz. Sayılar aynı olsa da sorduğumuz soru farklıdır.

Nokta, “Neredeyiz?” sorusuna cevap verir.
Vektör, “Hangi yönde ve ne kadar hareket ediyoruz?” sorusuna cevap verir.

Örneğin $P=(2,3)$, düzlemde belirli bir konumdur. $\mathbf{v}=[2,3]$ ise bulunduğumuz yerden iki birim sağa ve üç birim yukarı yönelen bir hareket olarak düşünülebilir.

Bir müşterinin yaşını ve aylık harcamasını düzlemde veri noktası olarak gösterebiliriz. İki müşterinin özellikleri arasındaki farkı da bir vektör olarak ele alabiliriz.

Vektörlerin yönünü ve büyüklüğünü Vektörler makalesinde ayrıntılı olarak işlemiştik.

İki Nokta Arasındaki Yatay ve Dikey Değişim

Düzlemde iki nokta seçelim:

$$ A=(x_1,y_1) $$

$$ B=(x_2,y_2) $$

$A$'dan $B$'ye giderken yatay konumumuz $x_1$'den $x_2$'ye değişir. Bu yüzden yatay değişim:

$$ \Delta x=x_2-x_1 $$

olur. Buradaki $\Delta$, “değişim” anlamına gelen Yunan alfabesindeki büyük delta harfidir. Benzer biçimde dikey değişim:

$$ \Delta y=y_2-y_1 $$

şeklindedir.

Örneğin $A=(-2,1)$ ve $B=(2,3)$ olsun. $A$'dan $B$'ye giderken:

$$ \begin{aligned} \Delta x &=2-(-2)\\ &=4 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \Delta y &=3-1\\ &=2 \end{aligned} $$

İlk noktadan ikinciye dört birim sağa, iki birim yukarı gideriz. Uzaklığı ve eğimi bu yatay ve dikey değişimlerden hesaplayacağız.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Yatay ve dikey değişimler birbirine dik olduğu için bir dik üçgen oluşturur. İki nokta arasındaki düz çizgi ise bu üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor bağıntısını kullanırsak:

$$ \begin{aligned} d(A,B)^2 &=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\\ d(A,B) &=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \end{aligned} $$

Yatay ve dikey değişimlerin yerine koordinat farklarını koyarsak uzaklık formülünü elde ederiz:

$$ d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

$A=(-2,1)$ ve $B=(2,3)$ için $\Delta x=4$, $\Delta y=2$ bulmuştuk. O halde:

$$ \begin{aligned} d(A,B) &=\sqrt{4^2+2^2}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=2\sqrt{5} \end{aligned} $$

Bu sonuç yaklaşık $4{,}47$ birimdir. Kareler nedeniyle yönün sağa, sola, yukarı veya aşağı olması uzaklığın işaretini değiştirmez; uzaklık negatif olamaz.

Bu hesapta Öklid uzaklığını kullandık. Başka uzaklık ölçülerinin aynı iki nokta için nasıl farklı sonuçlar verdiğini ve bu seçimin yapay zekâdaki önemini Normlar ve Mesafeler makalesinde incelemiştik.

İki Noktanın Tam Ortası

$A$ ile $B$'nin tam ortasındaki noktayı bulmak için yatay ve dikey koordinatların ayrı ayrı ortalamasını alırız. Orta noktaya $M$ dersek:

$$ M= \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $$

$A=(-2,1)$ ve $B=(2,3)$ için:

$$ \begin{aligned} M &= \left( \frac{-2+2}{2}, \frac{1+3}{2} \right)\\ &=(0,2) \end{aligned} $$

Bu orta noktadan iki uca olan uzaklık aynıdır.

Birbirine benzeyen veri noktalarını bir merkezle yaklaşık olarak temsil etmek istediğimizde, her özelliğin ortalamasını alabiliriz. İleride kümeleme algoritmalarında bu merkez noktasıyla yeniden karşılaşacağız.

Doğru Parçası

İki noktayı aralarındaki en kısa yoldan birleştirdiğimizde bir doğru parçası elde ederiz. Doğru parçasının iki ucu da bellidir; bu nedenle uzunluğu sonludur.

$A$ ile $B$ arasındaki doğru parçası genellikle $\overline{AB}$ ile gösterilir. Uç noktalar bu parçaya dahildir.

Bir yolculuğun belirli bir başlangıcı ve bitişi varsa bunu doğru parçasına benzetebiliriz. $A$'dan başlar, $B$'de dururuz; iki noktanın ötesine devam etmeyiz.

Işın

Bir ışının başlangıç noktası bellidir, fakat yalnızca bir yönde sonsuza kadar devam eder.

A noktasından başlayıp B noktası yönünde sonsuza uzanan ışın

$A$'dan başlayıp $B$ yönünde ilerleyen ışını $\overrightarrow{AB}$ ile gösteririz. Harflerin sırası burada önemlidir. $\overrightarrow{AB}$, $A$'dan başlar ve $B$'den geçerek devam eder. $\overrightarrow{BA}$ ise ters yönde uzanan farklı bir ışındır.

Güneşten çıkıp bir yönde ilerleyen ışık demeti, geometrik ışını gözümüzde canlandırmamıza yardım eder.

Doğru

Bir doğrunun başlangıcı ve sonu yoktur. İki yönde de sonsuza kadar uzar.

$A$ ve $B$ noktalarından geçen doğruyu $\overleftrightarrow{AB}$ ile gösterebiliriz. Birbirinden farklı iki nokta, düzlemde tek bir doğru belirler.

Geometrik Nesne	Başlangıç	Bitiş	Uzunluk
Doğru parçası	Var	Var	Sonlu
Işın	Var	Yok	Sonsuz
Doğru	Yok	Yok	Sonsuz

Günlük dilde bu üçüne de zaman zaman “çizgi” deriz. Matematikte ise hangi nesneden söz ettiğimizi ayırmak önemlidir.

Bir Doğrunun Eğimi

Bir yol için “biraz dik” veya “çok dik” diyebiliriz. Doğruların dikliğini karşılaştırırken ise bunu bir sayıyla ölçeriz. Bu sayıya eğim (slope) denir; genellikle $m$ harfiyle gösterilir.

Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$$ \begin{aligned} m &=\frac{\text{dikey değişim}}{\text{yatay değişim}}\\ &=\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ &=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{aligned} $$

Bu formülü kullanabilmek için $x_2\neq x_1$ olmalıdır. Çünkü sıfıra bölme işlemi tanımlı değildir.

Yine $A=(-2,1)$ ve $B=(2,3)$ noktalarından geçen doğruya bakalım:

$$ \begin{aligned} m &=\frac{3-1}{2-(-2)}\\ &=\frac{2}{4}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

$m=\frac{1}{2}$ olması, sağa doğru her $2$ birim ilerlediğimizde doğrunun $1$ birim yükseldiği anlamına gelir. Aynı oranı “sağa $1$ birim giderken yarım birim yükselir” diye de okuyabiliriz.

Eğimin İşareti Bize Ne Söyler?

Eğim	Soldan Sağa Görünüm	Örnek
$m>0$	Yükselir	$y=2x+1$
$m<0$	Alçalır	$y=-2x+1$
$m=0$	Yataydır	$y=3$
Tanımsız	Dikeydir	$x=3$

Dikey bir doğru üzerinde iki nokta seçersek bu noktaların $x$ değerleri aynıdır. Dolayısıyla $\Delta x=0$ olur ve eğim hesabında sıfıra bölme ortaya çıkar. Bu yüzden “dikey doğrunun eğimi sonsuzdur” demek yerine, daha doğru biçimde eğimi tanımsızdır deriz.

Yatay doğru için ise bütün noktaların $y$ değeri aynıdır. Bu kez $\Delta y=0$ olduğu için eğim sıfırdır.

Eğim hesabında noktaların sırasını değiştirebiliriz, fakat pay ve payda aynı sırayı izlemelidir. $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ doğrudur; $(y_2-y_1)/(x_1-x_2)$ ise işareti yanlış çıkarır.

Noktadan Doğruya: Nokta-Eğim Denklemi

Eğimi $m$ olan ve $(x_1,y_1)$ noktasından geçen bir doğru düşünelim. Doğru üzerindeki başka herhangi bir noktaya $(x,y)$ diyelim. Bu iki nokta arasındaki eğim değişmediği için:

$$ m=\frac{y-y_1}{x-x_1} $$

yazabiliriz. Her iki tarafı $x-x_1$ ile çarparsak:

$$ y-y_1=m(x-x_1) $$

elde ederiz. Buna nokta-eğim denklemi denir. Elimizde bir nokta ve eğim varsa doğruyu kurmanın en kolay yollarından biridir.

Örneğimizde $A=(-2,1)$ ve $m=\frac{1}{2}$ idi. Bunları denklemde yerine koyalım:

$$ \begin{aligned} y-1 &=\frac{1}{2}(x-(-2))\\ y-1 &=\frac{1}{2}(x+2)\\ y-1 &=\frac{1}{2}x+1\\ y &=\frac{1}{2}x+2 \end{aligned} $$

Doğrumuzun denklemi $y=\frac{1}{2}x+2$ olur. Kontrol etmek için diğer noktamız $B=(2,3)$'ü kullanalım:

$$ \frac{1}{2}(2)+2=3 $$

Eşitlik sağlandığı için $B$ de bu doğru üzerindedir.

Doğrunun Tanıdık Biçimi: $y=mx+b$

Dikey olmayan bir doğruyu çoğu zaman şu biçimde görürüz:

$$ y=mx+b $$

Bu denklemde:

$m$, doğrunun eğimidir.
$b$, doğrunun $y$ eksenini kestiği değerdir.

$b$'nin değerini anlamak için $y$ eksenine bakalım. Buradaki bütün noktalarda $x=0$'dır. Denklemde $x$ yerine $0$ koyarsak:

$$ y=m(0)+b=b $$

çıkar. Dolayısıyla doğru $y$ eksenini $(0,b)$ noktasında keser.

Örneğin $y=\frac{1}{2}x+2$ doğrusunun eğimi $\frac{1}{2}$, $y$ eksenini kestiği nokta ise $(0,2)$'dir.

Dikey doğrular bu biçimde yazılamaz. Çünkü dikey bir doğru üzerindeki bütün noktaların $x$ değeri sabittir. Örneğin orijinin üç birim sağındaki dikey doğrunun denklemi $x=3$'tür.

Bir Denklemi Grafiğe Dönüştürelim

Örnek olarak şu doğrunun grafiğini çizelim:

$$ y=2x-1 $$

Birkaç $x$ değeri seçip karşılık gelen $y$ değerlerini hesaplarız. Sonra oluşan noktaları düzleme yerleştiririz.

$x$	$y=2x-1$	Nokta
$-1$	$2(-1)-1=-3$	$(-1,-3)$
$0$	$2(0)-1=-1$	$(0,-1)$
$1$	$2(1)-1=1$	$(1,1)$

Y eşittir 2 x eksi 1 doğrusunun koordinat düzlemindeki grafiği

Bu üç noktayı birleştirerek doğruyu çizeriz. Farklı iki nokta doğruyu belirlemeye yeter; üçüncüsü hesaplarımızı kontrol etmemize yardım eder.

Denklemdeki $2$, eğimdir: Sağa bir birim gittiğimizde doğru iki birim yükselir. Sabit sayı $-1$ de doğrunun $y$ eksenini $(0,-1)$ noktasında kestiğini gösterir.

Fonksiyonun Grafiği

Bir fonksiyon için:

$$ y=f(x) $$

yazdığımızda, her uygun $x$ girdisine bir $y$ çıktısı karşılık gelir. Fonksiyonun grafiği de bütün bu $(x,f(x))$ noktalarının oluşturduğu şekildir.

Örneğin $f(x)=2x-1$ için:

$$ \begin{aligned} f(-1)&=-3\\ f(0)&=-1\\ f(1)&=1 \end{aligned} $$

olur. Bu üç hesap, az önce çizdiğimiz $(-1,-3)$, $(0,-1)$ ve $(1,1)$ noktalarını verir.

Fonksiyon olmanın önemli bir şartını grafik üzerinde de görebiliriz: Aynı $x$ girdisi iki farklı $y$ çıktısına sahip olamaz. Grafiğin üzerine hayalî bir dikey çizgi çizdiğimizde bu çizgi grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, gördüğümüz şeklin tamamı $y=f(x)$ biçiminde bir fonksiyon değildir. Buna dikey doğru testi denir.

Eksenleri Kestiği Noktalar

Bir grafiğin eksenleri nerede kestiğini bulmak, şekli hızlıca anlamamıza yardım eder.

$y$ eksenini bulmak için $x=0$ koyarız. $y=2x-1$ doğrusu için:

$$ y=2(0)-1=-1 $$

Dolayısıyla $y$ eksenini $(0,-1)$ noktasında keser.

$x$ eksenini bulmak için ise $y=0$ koyarız. Çünkü $x$ ekseni üzerindeki bütün noktaların $y$ koordinatı sıfırdır:

$$ \begin{aligned} 0&=2x-1\\ 1&=2x\\ x&=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Doğru, $x$ eksenini $\left(\frac{1}{2},0\right)$ noktasında keser.

$x$ eksenindeki kesişimi bulmak, denklemin sonucunu sıfır yapan $x$ değerini bulmaktır. Polinomların köklerini incelerken aynı hesabı yeniden kullanacağız.

Paralel ve Dik Doğrular

İki doğru aynı dikliğe sahipse, yani eğimleri aynıysa ve farklı doğrularsa birbirlerine paraleldir. Örneğin:

$$ \begin{aligned} y&=2x+1\\ y&=2x-4 \end{aligned} $$

doğrularının ikisinin de eğimi $2$'dir. Başlangıç yükseklikleri farklı olduğu için aynı doğru değillerdir ve hiçbir zaman kesişmezler.

Dikey olmayan iki doğru birbirini dik kesiyorsa eğimleri arasında şu ilişki vardır:

$$ m_1m_2=-1 $$

Başka bir deyişle ikinci eğim, birinci eğimin işaret değiştirmiş tersidir. Örneğin eğimi $2$ olan bir doğruya dik doğrunun eğimi $-\frac{1}{2}$'dir:

$$ 2\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 $$

Yatay ve dikey doğrular özel bir çift oluşturur: Biri sıfır eğimli, diğeri tanımsız eğimlidir ve birbirlerini dik keserler.

İki Doğrunun Kesiştiği Nokta

İki doğru kesiştiğinde, kesişim noktası her iki denklemi de aynı anda sağlar. Örneğin:

$$ \begin{aligned} y&=2x-1\\ y&=-x+5 \end{aligned} $$

olsun. Kesişim noktasında iki $y$ değeri birbirine eşit olmalıdır. Bu nedenle:

$$ \begin{aligned} 2x-1&=-x+5\\ 3x&=6\\ x&=2 \end{aligned} $$

buluruz. Şimdi $x=2$'yi denklemlerden birinde yerine koyalım:

$$ y=2(2)-1=3 $$

Kesişim noktası $(2,3)$'tür. Kontrol için ikinci denklemde de yerine koyabiliriz:

$$ -2+5=3 $$

İki denklem de bulduğumuz noktada sağlanır. Denklem sisteminin çözümü, grafikte doğruların kesiştiği yerdir.

Noktalar Arasında Adım Adım İlerlemek

$A$ noktasından $B$ noktasına tek seferde sıçramak zorunda değiliz. Yolun belirli bir oranına kadar ilerleyebiliriz. $t$, $0$ ile $1$ arasında bir sayı olmak üzere:

$$ P(t)=(1-t)A+tB $$

ifadesi $A$ ile $B$ arasındaki doğru parçası üzerinde bir nokta verir. $x$ ve $y$ koordinatlarını ayrı ayrı hesaplarız. $A=(x_1,y_1)$ ve $B=(x_2,y_2)$ için:

$$ P(t)= \left( (1-t)x_1+tx_2, (1-t)y_1+ty_2 \right) $$

Uç değerlerde başladığımız ve varmak istediğimiz noktaları elde ederiz:

$$ \begin{aligned} P(0)&=(1-0)A+0B=A\\ P(1)&=(1-1)A+1B=B \end{aligned} $$

$t=\frac{1}{2}$ seçersek:

$$ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B $$

elde ederiz. Bu, iki noktanın tam ortasıdır.

Bu yönteme doğrusal aradeğerleme (linear interpolation) denir. Animasyonlarda iki konum arasında yumuşak geçiş yapmaktan, iki ölçüm arasındaki yaklaşık değeri bulmaya kadar pek çok yerde kullanılır.

Analitik Düzlemde Veri Noktaları

Bir öğrenciyi analitik düzlemde iki bilgiyle gösterebiliriz:

$x$: Bir haftada çalıştığı saat,
$y$: Deneme sınavındaki puanı.

Her öğrenciyi $(x,y)$ biçiminde bir noktayla gösterebiliriz. Örneğin $(4,65)$, haftada dört saat çalışan ve 65 puan alan bir öğrenciyi temsil edebilir.

Çok sayıda öğrenciyi düzleme yerleştirdiğimizde bir saçılım grafiği elde ederiz. Noktalar genel olarak sağa gittikçe yükseliyorsa, çalışma süresi ile puan arasında bir ilişki olabileceğini düşünürüz. Noktaların arasından geçen bir doğru da bu genel eğilimi yaklaşık olarak gösterebilir.

Bu grafikte her eksen bir özelliği temsil eder. Yaş, gelir, sıcaklık, nem, kelime sayısı veya bir görüntünün parlaklığı gibi ölçülebilen değerleri de eksenlere yerleştirebiliriz.

Yakındaki Noktalar Benzer midir?

Bir veri kümesindeki her nokta iki özellik taşıyorsa, noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayabiliriz. Birbirine yakın iki nokta, bu iki özellik bakımından benzer olabilir.

Örneğin müşterileri “aylık alışveriş sayısı” ve “ortalama sepet tutarı” eksenlerinde gösterelim. $(5,800)$ ile $(6,820)$ noktaları birbirine oldukça yakınken $(1,150)$ çok daha uzakta kalabilir. Bu görünüm farklı müşteri gruplarını fark etmemize yardım eder.

Uzaklıkları yorumlamak için eksenlerin ölçeklerine de bakmalıyız. Yaş değerleri $18$ ile $70$ arasındayken yıllık gelir binlerle ifade ediliyorsa gelir ekseni hesabı gereğinden fazla etkileyebilir. Yapay zekâ uygulamalarında verileri bu yüzden ölçekleriz.

Seçtiğimiz özellikler konuyla ilgisizse geometrik yakınlık da yanıltıcı olabilir. Noktaların yakınlığını anlamlı bir benzerlik olarak yorumlamak için eksenlere ilgili bilgileri yerleştirmeliyiz.

Bir Doğru, Karar Sınırı Olabilir

İki tür veri noktasını birbirinden ayırmak istediğimizi düşünelim. Örneğin bir e-postanın iki özelliğini kullanalım:

$x_1$: Şüpheli kelime sayısı,
$x_2$: İçerdiği bağlantı sayısı.

Basit bir model şu sınırı kullanabilir:

$$ x_1+x_2=6 $$

Bu denklem analitik düzlemde bir doğrudur. $x_1+x_2>6$ olan noktalar doğrunun bir tarafında, $x_1+x_2<6$ olanlar diğer tarafında kalır. Model bir tarafı “şüpheli”, diğer tarafı “normal” olarak değerlendirebilir.

Daha genel bir doğrusal karar sınırı:

$$ w_1x_1+w_2x_2+b=0 $$

biçiminde yazılır. Buradaki $w_1$ ve $w_2$, modelin iki özelliğe verdiği ağırlıkları; $b$ ise sınırın düzlemdeki konumunu belirleyen sabit sayıyı temsil eder.

Bu denklem tek başına bir sınıflandırma algoritması tanımlamaz. Yine de kararın geometrisini gösterir: Denklem sınırı çizer, veri noktaları da bulundukları tarafa göre ayrılır.

İki Boyuttan Çok Boyutlu Uzaya

Yapay zekâ problemlerinde çoğu zaman ikiden fazla özellik kullanırız. Bir evin oda sayısı, alanı, bina yaşı, katı ve konum puanı bunlardan bazılarıdır.

İki özellik olduğunda her örnek düzlemde bir noktadır:

$$ (x_1,x_2) $$

Üç özellik olduğunda üç boyutlu uzayda bir nokta elde ederiz:

$$ (x_1,x_2,x_3) $$

Yüz özellik olduğunda ise:

$$ (x_1,x_2,\ldots,x_{100}) $$

biçiminde yüz boyutlu bir özellik uzayından söz ederiz. Böyle bir uzayı gözümüzle çizemeyiz; fakat noktalar, vektörler, uzaklıklar ve doğrusal sınırlar için kullandığımız hesaplar çalışmaya devam eder.

İki boyutlu düzlemde öğrendiğimiz nokta, uzaklık ve sınır düşüncesini çizemediğimiz yüksek boyutlu veri uzaylarına da taşıyabiliriz.

Koordinatları Taşımak ve Ölçeklemek

Bir noktayı düzlemde taşımak istersek koordinatlarına sabit değerler ekleyebiliriz. $P=(x,y)$ noktasını $a$ birim yatay, $b$ birim dikey taşımak için:

$$ P'=(x+a,y+b) $$

yazarız. Örneğin $P=(2,3)$ noktasını dört birim sağa, bir birim aşağı taşırsak:

$$ \begin{aligned} P' &=(2+4,3-1)\\ &=(6,2) \end{aligned} $$

elde ederiz.

Koordinatları aynı sayıyla çarpmak ise noktayı orijine göre büyütür veya küçültür. $P=(2,3)$ noktasını $2$ ile ölçeklersek $(4,6)$ noktasına ulaşırız.

Döndürme, yansıtma ve ölçekleme gibi işlemlerin matrislerle nasıl yapıldığını Matrisler makalesinde incelemiştik. Analitik düzlem bu dönüşümlerin sonucunu gözümüzde canlandırmamızı sağlar.

Sık Yapılan Hatalar

$x$ ve $y$'yi ters okumak: $(2,3)$ için önce iki birim sağa, sonra üç birim yukarı gideriz.
Eksen üzerindeki noktayı bir bölgeye yerleştirmek: $x=0$ veya $y=0$ olan bir nokta dört bölgeden hiçbirine ait değildir.
Uzaklıkta karekökü unutmak: $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$, uzaklığın karesidir; uzaklığın kendisi için karekök gerekir.
Eğimde çıkarma sırasını karıştırmak: Pay ve payda aynı nokta sırasını izlemelidir.
Dikey doğrunun eğimine sıfır demek: Dikey doğrunun eğimi tanımsızdır; sıfır eğim yatay doğruya aittir.
Doğru parçası, ışın ve doğruyu aynı sanmak: Bunların uç noktaları ve uzama yönleri farklıdır.
Grafikle fonksiyonu tamamen aynı şey saymak: Grafik, fonksiyonun düzlemdeki gösterimidir. Her şekil bir fonksiyon grafiği değildir.
Ölçeği görmezden gelmek: Veri eksenlerinin birimleri çok farklıysa geometrik uzaklık yanıltıcı olabilir.

Birlikte Kısa Bir Örnek Çözelim

$C=(-1,4)$ ve $D=(3,-2)$ noktalarını ele alalım. Bu iki nokta için yatay ve dikey değişimi, uzaklığı, orta noktayı ve eğimi bulalım.

Önce değişimler:

$$ \begin{aligned} \Delta x &=3-(-1)=4\\ \Delta y &=-2-4=-6 \end{aligned} $$

Uzaklık:

$$ \begin{aligned} d(C,D) &=\sqrt{4^2+(-6)^2}\\ &=\sqrt{16+36}\\ &=\sqrt{52}\\ &=2\sqrt{13} \end{aligned} $$

Orta nokta:

$$ \begin{aligned} M &= \left( \frac{-1+3}{2}, \frac{4+(-2)}{2} \right)\\ &=(1,1) \end{aligned} $$

Eğim:

$$ \begin{aligned} m &=\frac{-2-4}{3-(-1)}\\ &=\frac{-6}{4}\\ &=-\frac{3}{2} \end{aligned} $$

Eğim negatif olduğu için doğru soldan sağa giderken alçalır. Şimdi $C=(-1,4)$ noktasını kullanarak doğru denklemini bulalım:

$$ \begin{aligned} y-4 &=-\frac{3}{2}(x-(-1))\\ y-4 &=-\frac{3}{2}(x+1)\\ y &=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \end{aligned} $$

$D=(3,-2)$ noktasını yerine koyarak kontrol edelim:

$$ -\frac{3}{2}(3)+\frac{5}{2} = -\frac{9}{2}+\frac{5}{2} =-2 $$

Bulduğumuz sonuç $D$'nin $y$ koordinatıyla aynı; doğru denklemi iki noktayı da sağlıyor. Bu iki noktadan uzaklığı, orta noktayı ve eğimi hesaplayıp doğru denklemini kurduk.

Sonuç

Analitik düzlemde bir noktanın yerini $(x,y)$ sıralı ikilisiyle gösterdik; eksenleri, orijini ve dört bölgeyi bu iki sayı üzerinden okuduk. İki noktanın yatay ve dikey farkından uzaklığı, orta noktayı ve eğimi hesapladık. Doğru parçasının, ışının ve doğrunun nerede başlayıp nerede bittiğini ayırdık.

Bir nokta ve eğimden doğru denklemi kurduk; denklemi grafiğe, iki doğrunun kesişimini de denklem çözümüne çevirdik. Aynı düzlemde veri noktalarının yakınlığını ve doğrusal karar sınırlarını da yorumlayabildik. Bir veri kaydının hangi özellikleri taşıdığını eksenler, başka kayıtlara ne kadar yakın olduğunu ise seçtiğimiz uzaklık ölçüsü belirler.

Bu makalede incelediğimiz doğrular, $y=mx+b$ biçimindeki birinci dereceden polinom fonksiyonlarının grafikleridir. Bir sonraki makalemizde bu fikri genişletecek; $x^2$, $x^3$ ve daha yüksek kuvvetler denkleme girdiğinde doğruların nasıl eğrilere dönüştüğünü Polinom Fonksiyonları başlığı altında inceleyeceğiz.

Yazar: Levent KARAGÖL

\(x\)	\(y=2x-1\)	Nokta
\(-1\)	\(2(-1)-1=-3\)	\((-1,-3)\)
\(0\)	\(2(0)-1=-1\)	\((0,-1)\)
\(1\)	\(2(1)-1=1\)	\((1,1)\)