3. Normlar ve Mesafeler

28 Haziran 2026

27 dakika

1.065 görüntüleme

Bir vektörün ne kadar büyük olduğunu normla, iki veri noktasının birbirine ne kadar yakın olduğunu mesafeyle ölçeriz. Uzaklık içinse tek bir cetvel yoktur: Kuş uçuşu yol, şehir sokaklarını izleyen yol ve en büyük tekil fark, aynı iki noktayı farklı biçimlerde değerlendirir. Bu makalede norm ve mesafeyi gündelik örneklerle tanıyıp Öklid, Manhattan ve maksimum normlarını adım adım hesaplayacağız. Ardından veri ölçeğinin sonuçları nasıl değiştirdiğini ve yapay zekâ sistemlerinde uygun uzaklık ölçüsünü seçmenin neden önemli olduğunu göreceğiz.

Uzaklık Dediğimiz Şey Her Zaman Aynı mı?

Bir şehir haritasında bulunduğumuz yer ile gitmek istediğimiz kafe arasında düz bir çizgi çizdiğimizi düşünelim. Bu çizginin uzunluğu bize iki nokta arasındaki kuş uçuşu uzaklığı verir. Fakat önümüzde binalar varsa o çizgiyi izleyemeyiz; sokaklardan ilerler, önce doğuya sonra kuzeye gideriz. Navigasyon uygulamasının gösterdiği yürüyüş mesafesi bu nedenle kuş uçuşu mesafeden daha uzun olabilir.

Bir de hem yatay hem dikey hareket edebilen bir taşıma sistemindeki asansörü düşünelim. İki hareket aynı anda yapılıyorsa varış süresini daha uzun süren hareket belirleyebilir. O zaman toplam yol yerine en büyük tek yönlü fark işimize yarar.

“A noktası B noktasına ne kadar uzaktır?” sorusunu yanıtlamak için neyi ölçtüğümüzü ve hangi hareketlerin mümkün olduğunu bilmeliyiz. Matematikte her uzaklık ölçüsünü kendi kurallarıyla tanımlarız. Yapay zekâda bu seçim, iki müşterinin benzer sayılıp sayılmayacağını, bir görüntünün hangi sınıfa atanacağını veya hangi verinin sıra dışı kabul edileceğini değiştirebilir.

Ana fikir: Seçtiğimiz uzaklık ölçüsü, veriler arasındaki hangi farkları benzerlik hesabına katacağımızı belirler.

Vektörlerden Normlara

Vektörler makalesinde bir vektörün, birden fazla sayıyı düzenli biçimde bir arada tutabildiğini görmüştük. Ardından Matrisler makalesinde bu vektörleri ölçeklendiren, döndüren ve başka biçimlere dönüştüren yapılara geçtik. Şimdi doğal bir soru sorabiliriz: Bir vektörün kendisinin veya bir dönüşümden sonra ortaya çıkan değişimin ne kadar büyük olduğunu nasıl ölçeceğiz?

Örneğin bir evin bazı özelliklerini aşağıdaki vektörle gösterebiliriz:

$$ \mathbf{x} = [120,\ 3,\ 10] $$

Burada ilk sayı evin 120 metrekare olduğunu, ikinci sayı 3 odası bulunduğunu, üçüncü sayı da merkeze 10 kilometre uzakta olduğunu anlatsın. Vektörün her sayısına bileşen deriz. Bu vektör üç bileşenli olduğu için onu üç boyutlu bir veri olarak düşünebiliriz. “Boyut” sözcüğü burada mutlaka fiziksel uzay anlamına gelmez; ölçtüğümüz özelliklerin sayısını da anlatabilir.

Bu vektörün büyüklüğünü tek bir sayıyla anlatmak için norm kullanırız. Vektöre uyguladığımız bir cetvel gibi düşünebiliriz. Norm, genellikle vektörün iki yanındaki çift dikey çizgiyle gösterilir:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert $$

Bu ifadeyi “x vektörünün normu” diye okuruz. Birden çok bileşeni olan vektörün büyüklüğünü, sıfır veya sıfırdan büyük tek bir sayıyla anlatır.

İki nokta arasındaki mesafeyi de birinden diğerine giden fark vektörünün normunu alarak hesaplayabiliriz. A ve B noktaları için:

$$ d(A,B) = \lVert \mathbf{B}-\mathbf{A} \rVert $$

Önce A'dan B'ye geçerken her bileşendeki değişimi bulur, sonra bu fark vektörünü seçtiğimiz normla ölçeriz. Normu değiştirdiğimizde mesafe de değişebilir.

Her Ölçü Norm Olabilir mi?

Bir sayı listesinden büyüklük hesaplayan her kural norm değildir. Normun uyması gereken koşulları önce gündelik anlamlarıyla görelim.

1. Büyüklük Negatif Olamaz

Bir ipin uzunluğu eksi 4 metre olamayacağı gibi bir vektörün normu da negatif olamaz. Ayrıca büyüklüğü sıfır olan tek vektör, bütün bileşenleri sıfır olan vektördür:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert \geq 0 $$ $$ \lVert \mathbf{x} \rVert = 0 \quad \text{yalnızca} \quad \mathbf{x}=\mathbf{0} \text{ iken} $$

Buradaki $\mathbf{0}$, her bileşeni sıfır olan vektördür. Örneğin iki boyutta $[0,0]$, üç boyutta $[0,0,0]$ sıfır vektörüdür.

2. Vektörü Kaç Kat Büyütürsek Normu da O Kadar Büyür

Bir oku iki kat uzatırsak uzunluğunun da iki katına çıkmasını bekleriz. Vektörü $c$ sayısıyla çarptığımızda normun davranışı şöyledir:

$$ \lVert c\mathbf{x} \rVert = |c|\,\lVert \mathbf{x} \rVert $$

Dikey çizgilerle gösterilen $|c|$, $c$ sayısının mutlak değeridir; yani işareti kaldırılmış büyüklüğüdür. Örneğin $c=-3$ ise $|c|=3$ olur. Eksi işareti vektörün yönünü ters çevirir, fakat uzunluğunu negatif yapmaz.

3. Dolambaçlı Yol Kestirmeden Kısa Olamaz

Önce $\mathbf{x}$ kadar, ardından $\mathbf{y}$ kadar ilerlediğimizi düşünelim. Bu iki hareketin toplamıyla ulaştığımız yere doğrudan da gidebiliriz. Doğrudan yol, iki parçalı yolun toplamından daha uzun olamaz:

$$ \lVert \mathbf{x}+\mathbf{y} \rVert \leq \lVert \mathbf{x} \rVert + \lVert \mathbf{y} \rVert $$

Bu kurala üçgen eşitsizliği denir. Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından uzun olamaz. Mesafeyi tutarlı biçimde ölçebilmemiz için de aynı koşul gerekir.

Bu koşulları sağlayan üç normu aynı vektör üzerinde karşılaştıralım. Her biri bileşenleri farklı biçimde birleştirecek.

Öklid Normu: Düz Çizginin Uzunluğu

Gündelik hayatta “iki nokta arasındaki en kısa mesafe” dediğimizde çoğu zaman aklımıza düz bir çizgi gelir. Pisagor bağıntısına dayanan bu ölçüye Öklid normu, 2-normu veya kısaca $L_2$ normu denir.

İki bileşenli $\mathbf{x}=[x_1,x_2]$ vektörü için ilk bileşenin karesini, ikinci bileşenin karesini toplar ve sonucun karekökünü alırız:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{x_1^2+x_2^2} $$

Norm işaretinin sağ altındaki 2, hangi normu kullandığımızı söyler. Karelerin toplamı ve karekök, Pisagor bağıntısındaki dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi genelleştirir.

İki Boyutlu Bir Örnek

$\mathbf{x}=[3,4]$ vektörünü ele alalım. Şekilde yeşil ok, başlangıç noktası olan $(0,0)$ ile $(3,4)$ noktasını birleştiriyor:

Başlangıç noktasından (3,4) noktasına uzanan vektör

Yatay değişim 3, dikey değişim 4 birimdir. Bunlar dik üçgenin iki kısa kenarıdır. Vektörün uzunluğu olan hipotenüsü şöyle buluruz:

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_2 &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned} $$

$[3,4]$ vektörünün Öklid normu 5'tir. İki bileşeni olan vektörün uzunluğunu tek sayıyla ifade ettik.

Üçüncü Bir Bileşen Eklenirse

Aynı düşünce üç boyutta da değişmez. $\mathbf{x}=[3,4,2]$ vektörüne üçüncü bileşenin karesini de ekleriz:

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_2 &= \sqrt{3^2+4^2+2^2} \\ &= \sqrt{9+16+4} \\ &= \sqrt{29} \\ &\approx 5{,}39 \end{aligned} $$

Genel olarak $n$ bileşenli bir vektörde bütün bileşenlerin karelerini toplarız:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} $$

Öklid Mesafesi

Norm başlangıç noktasından bir vektörün ucuna kadar olan büyüklüğü ölçer. İki farklı nokta arasındaki uzaklık için önce noktaları birbirinden çıkarırız. $A=(1,2)$ ve $B=(4,4)$ olsun:

(1,2) ile (4,4) noktaları arasındaki düz çizgi

A'dan B'ye giderken yatay yönde $4-1=3$, dikey yönde $4-2=2$ birim değişiriz. Fark vektörü bu nedenle $[3,2]$ olur:

$$ \begin{aligned} d_2(A,B) &= \lVert \mathbf{B}-\mathbf{A} \rVert_2 \\ &= \lVert [4-1,\ 4-2] \rVert_2 \\ &= \lVert [3,2] \rVert_2 \\ &= \sqrt{3^2+2^2} \\ &= \sqrt{13} \\ &\approx 3{,}61 \end{aligned} $$

Üç boyutta da aynı adımları uygularız. $A=(1,2,1)$ ve $B=(3,4,2)$ için fark vektörü $[2,2,1]$ olur:

Üç boyutta (1,2,1) ile (3,4,2) noktaları arasındaki düz çizgi

$$ \begin{aligned} d_2(A,B) &= \sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2+(2-1)^2} \\ &= \sqrt{2^2+2^2+1^2} \\ &= \sqrt{4+4+1} \\ &= 3 \end{aligned} $$

Öklid mesafesi, bütün yönlerdeki farkları birlikte değerlendirerek iki noktayı birleştiren düz çizginin uzunluğunu verir. Fiziksel uzaydaki birçok problem için doğal bir seçimdir; fakat her problem fiziksel uzay gibi davranmaz.

Manhattan Normu: Izgara Üzerinde Yol Almak

Bir şehrin sokaklarının kuzey-güney ve doğu-batı yönlerinde düzenli bir ızgara oluşturduğunu düşünelim. Binaların içinden geçemediğimiz için hedefe düz çizgiyle gidemeyiz. Önce yatay, sonra dikey ilerleriz. Bu durumda her yöndeki hareket miktarını toplamak daha anlamlıdır.

Bu ölçüye Manhattan normu, taksi normu veya $L_1$ normu denir. İki bileşenli bir vektör için formül şöyledir:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_1 = |x_1|+|x_2| $$

Bileşenlerin mutlak değerlerini kullanırız; çünkü sağa 3 birim gitmek de sola 3 birim gitmek de 3 birimlik yol anlamına gelir. Yön değişir, gidilen miktar değişmez.

İki ve Üç Boyutta Vektör Büyüklüğü

$\mathbf{x}=[3,4]$ vektörüne bu kez düz çizgi olarak değil, iki eksen boyunca yapılan hareketlerin toplamı olarak bakalım:

(3,4) vektörüne ulaşmak için 3 birim yatay ve 4 birim dikey Manhattan yolu

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_1 &= |3|+|4| \\ &= 3+4 \\ &= 7 \end{aligned} $$

Aynı vektörün Öklid normu 5, Manhattan normu 7'dir. İlkinde düz çizginin uzunluğunu, ikincisinde eksenler boyunca gidilen toplam yolu ölçüyoruz.

Üç boyutlu $[3,4,2]$ vektöründe her eksendeki hareketi toplarız:

(3,4,2) vektörüne eksenler boyunca ulaşan üç parçalı Manhattan yolu

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_1 &= |3|+|4|+|2| \\ &= 3+4+2 \\ &= 9 \end{aligned} $$

Genel formülde, vektördeki bütün bileşenlerin mutlak değerlerini toplarız:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_1 = |x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n| $$

Manhattan Mesafesi

Yine $A=(1,2)$ ve $B=(4,4)$ noktalarını kullanalım. İki bileşen arasındaki farkların mutlak değerlerini toplarız:

(1,2) ile (4,4) arasında yatay ve dikey parçalardan oluşan Manhattan yolu

$$ \begin{aligned} d_1(A,B) &= |4-1|+|4-2| \\ &= |3|+|2| \\ &= 3+2 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Bu örnekte önce 3 birim yatay, sonra 2 birim dikey gideriz. Sıralamayı değiştirip önce dikey sonra yatay gitsek de toplam 5 olur. Hatta geriye dönmeden farklı ara sokakları izlesek bile toplam yatay ve dikey değişim aynı kalabilir.

Üç boyutta $A=(1,2,1)$ ve $B=(3,4,2)$ için sonuç şöyledir:

Üç boyutta iki nokta arasında eksenlere paralel Manhattan yolu

$$ \begin{aligned} d_1(A,B) &= |3-1|+|4-2|+|2-1| \\ &= 2+2+1 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Manhattan mesafesi, her bileşendeki farkın ayrı ayrı maliyet oluşturduğu durumlarda kullanışlıdır. Bir depodaki robot yalnızca raf koridorları boyunca hareket ediyorsa veya yapılan her özellik değişikliğini ayrı bir maliyet gibi saymak istiyorsak bu bakış açısı probleme uyabilir.

Maksimum Norm: En Büyük Farka Bakmak

Bazı problemlerde toplam değişim değil, tek bir bileşendeki en büyük değişim belirleyicidir. Aynı anda yatay ve dikey hareket edebilen bir düzenek düşünelim. Yatay hareket 3 saniye, dikey hareket 4 saniye sürüyorsa ve ikisi eş zamanlı yapılabiliyorsa bütün hareket 7 değil 4 saniyede biter. Süreyi daha uzun olan hareket belirler.

Bileşenlerin mutlak değerleri arasından en büyüğünü alan ölçüye maksimum norm, sonsuz normu veya $L_\infty$ normu denir:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty = \max(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|) $$

Buradaki $\max$, parantez içindeki değerlerin en büyüğünü seçmek demektir. $\infty$ işareti “sonsuz bileşen var” anlamına gelmez; bu normun genel $p$-normu ailesindeki adından gelir. Birazdan bu bağlantıyı göreceğiz.

Vektörün Maksimum Normu

$\mathbf{x}=[3,4]$ için mutlak bileşenler 3 ve 4'tür. En büyüğü 4 olduğu için sonuç 4'tür:

(3,4) vektöründe maksimum normu belirleyen 4 birimlik dikey bileşen

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty &= \max(|3|,|4|) \\ &= \max(3,4) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Üç boyutlu $[3,4,2]$ vektöründe de en büyük mutlak bileşen 4'tür:

(3,4,2) vektöründe maksimum normu belirleyen 4 birimlik bileşen

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty &= \max(|3|,|4|,|2|) \\ &= \max(3,4,2) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Maksimum Mesafe

$A=(1,2)$ ile $B=(4,4)$ arasındaki yatay fark 3, dikey fark 2'dir. Maksimum mesafe yalnızca büyük olanı alır:

(1,2) ile (4,4) arasındaki farklardan büyük olan 3 birimlik yatay fark

$$ \begin{aligned} d_\infty(A,B) &= \max(|4-1|,|4-2|) \\ &= \max(3,2) \\ &= 3 \end{aligned} $$

Üç boyutlu örneğimizde farklar 2, 2 ve 1'dir. Bunların en büyüğü 2 olur:

Üç boyutta iki nokta arasındaki en büyük bileşen farklarını gösteren yol

$$ \begin{aligned} d_\infty(A,B) &= \max(|3-1|,|4-2|,|2-1|) \\ &= \max(2,2,1) \\ &= 2 \end{aligned} $$

Maksimum norm, “Hiçbir özellikte izin verilen sınırı aşma” türündeki kurallarda doğrudan anlam kazanır. Örneğin bir görüntünün her piksel değerinde en fazla belirli bir değişime izin veriliyorsa bütün değişikliği özetlemek için en büyük piksel farkına bakılabilir.

Aynı Noktalar, Üç Ayrı Cevap

Üç normu aynı örnek üzerinde yan yana getirelim. $A=(1,2)$ ve $B=(4,4)$ noktaları arasındaki fark vektörü $[3,2]$ idi. Her cetvel aynı iki sayıya bakıyor, fakat onları birleştirme yöntemi değişiyor:

Ölçü	Hesap	Sonuç	Sezgisel anlam
$L_1$	$\|3\|+\|2\|$	5	Eksenler boyunca gidilen toplam yol
$L_2$	$\sqrt{3^2+2^2}$	$\sqrt{13}\approx 3{,}61$	Kuş uçuşu düz çizgi
$L_\infty$	$\max(3,2)$	3	Tek bir yöndeki en büyük fark

Üç sonuç da kendi ölçüsüne göre tutarlıdır. Hangisini kullanacağımıza karar verirken bu problemde yakınlıktan ne anladığımıza bakmalıyız.

Eşit Uzaklıktaki Noktaların Şekli

Başlangıç noktasına uzaklığı tam 1 olan bütün noktaları işaretlediğimizi düşünelim. Öklid normunda bu noktalar bir çember oluşturur. Manhattan normunda köşeleri eksenlere bakan bir baklava şekli ortaya çıkar. Maksimum normda ise bir kare elde ederiz. Cetvel değiştiğinde yalnızca sayı değil, “yakın çevre” dediğimiz bölgenin şekli de değişir.

Bir algoritma bir veri noktasının komşularını ararken seçtiğimiz norma göre farklı bir bölgeyi tarar. Bu yüzden bazı noktalar bir ölçüde komşu sayılırken diğerinde sayılmayabilir.

Üç Normun Ortak Ailesi: $p$-Normu

$L_1$ ve $L_2$ normlarını aynı formülden elde edebiliriz. Bu formülün tanımladığı $p$-normu ailesinde $p$ sayısı 1 veya daha büyüktür:

$$ \lVert \mathbf{x} \rVert_p = \left( |x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}, \qquad p\geq 1 $$

Önce her bileşenin mutlak değerini alır, bunları $p$. kuvvete yükseltip toplarız. Son olarak toplamın $p$. dereceden kökünü alırız. Formüldeki $1/p$ kuvveti bu son adımı gösterir.

$p=1$ yazarsak birinci kuvvetler ve birinci dereceden kök sonucu değiştirmez; mutlak değerlerin toplamı olan $L_1$ normunu elde ederiz.
$p=2$ yazarsak karelerin toplamının karekökünü, yani $L_2$ normunu elde ederiz.
$p$ büyüdükçe büyük bileşenler hesap üzerinde daha baskın hale gelir. $p$ sınırsız biçimde büyütüldüğünde sonuç en büyük mutlak bileşene yaklaşır; bu yüzden maksimum norma $L_\infty$ denir.

Peki $p$ neden 1'den küçük seçilmedi? Örneğin $p=0{,}5$ ile de bir sayı hesaplanabilir. Fakat elde edilen ölçü genel olarak üçgen eşitsizliğini sağlamaz. Bu nedenle teknik anlamda norm değildir. Makine öğrenmesinde 1'den küçük kuvvetlerin kullanıldığı yöntemler bulunabilir; fakat bunları standart bir mesafe cetveli sanmamak gerekir.

Gösterim uyarısı: Alt simgedeki sayı bir kuvvet komutu değil, kullanılan normun adıdır. $\lVert\mathbf{x}\rVert_1$, $\lVert\mathbf{x}\rVert_2$ ve $\lVert\mathbf{x}\rVert_\infty$ aynı vektörü farklı kurallarla ölçer.

Norm ve Mesafe Aynı Şey Değildir

Norm tek bir vektörün büyüklüğünü, mesafe iki nokta arasındaki ayrılığı ölçer. İki noktanın fark vektörüne norm uygulayarak mesafelerini bulabiliriz:

$$ d_p(A,B)=\lVert \mathbf{B}-\mathbf{A}\rVert_p $$

Her mesafe ölçüsü bir normdan gelmez. Örneğin iki kelimenin kaç harfte farklı olduğunu sayabiliriz. Uygun koşullarda bu sayı bir mesafe olabilir; bunun için kelimeleri başlangıç noktasından çıkan vektörler olarak düşünmemiz gerekmez.

Bir ölçünün matematiksel anlamda metrik, yani tutarlı bir mesafe sayılması için şu davranışları göstermesi beklenir:

Negatif olmama: $d(A,B)\geq 0$ olmalıdır.
Aynı noktayı ayırt etme: Mesafe ancak $A=B$ ise sıfır olmalıdır.
Simetri: A'dan B'ye mesafe ile B'den A'ya mesafe aynı olmalıdır: $d(A,B)=d(B,A)$.
Üçgen eşitsizliği: C üzerinden dolanmak doğrudan gitmekten kısa olmamalıdır: $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$.

Bazı yararlı benzerlik hesapları bu koşulların hepsini sağlamaz. Kullandığımız ölçünün metrik olup olmadığını bilmek, ona dayanan algoritmanın davranışını yorumlamamıza yardım eder.

Karesi Alınmış Öklid Uzaklığına Dikkat

Bazı algoritmalar karekök hesabını yapmadan, farkların kareleri toplamını kullanır:

$$ d_2^2(A,B)=\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2 $$

Bu değer yakınlık sıralamasını çoğu durumda korur; çünkü negatif olmayan sayılarda büyük Öklid mesafesinin karesi de büyüktür. Ayrıca büyük farkları daha güçlü biçimde cezalandırır. Ancak karesi alınmış Öklid uzaklığı teknik anlamda bir metrik değildir. Sayı doğrusu üzerinde 0, 1 ve 2 noktalarını ele alalım. 0 ile 2 arasındaki kareli uzaklık 4'tür; 0 ile 1 ve 1 ile 2 arasındaki kareli uzaklıkların toplamı ise $1+1=2$ olur. Böylece üçgen eşitsizliği sağlanmaz.

Ölçek Sorunu: Kilometre ile Lirayı Aynı Cetvelle Ölçmek

Farklı birimlerdeki özellikleri doğrudan aynı uzaklık hesabına koyarsak sayısal ölçekleri sonucu etkiler. İki müşteriyi yaşlarına ve yıllık harcamalarına göre karşılaştırdığımızı düşünelim:

Müşteri	Yaş	Yıllık harcama
A	30	30.000 TL
B	31	30.000 TL
C	30	31.000 TL

A ile B arasında yaş bakımından 1 birim fark vardır. A ile C arasında harcama bakımından 1.000 birim fark vardır. Sayıları olduğu gibi kullanırsak algoritma, harcamadaki değişimi yaştaki değişimden bin kat büyük görür. Fakat 1 TL ile 1 yıl karşılaştırılabilir birimler değildir. Harcamanın baskın çıkması, onun mutlaka bin kat daha önemli olduğu anlamına gelmez; yalnızca farklı bir sayısal ölçekte yazıldığını gösterir.

Bu sorunu azaltmak için özellikleri hesaplamadan önce ortak bir ölçeğe taşırız. Bu işleme genel olarak ölçekleme denir. Yaygın yöntemlerden biri, her değeri kendi özelliğinin en küçük ve en büyük değerlerine göre 0 ile 1 arasına yerleştirmektir:

$$ x_{\text{yeni}} = \frac{x-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}} $$

Formülde $x$ dönüştürmek istediğimiz değerdir. $x_{\min}$ o özellikte gözlenen en küçük, $x_{\max}$ en büyük değerdir. Önce değerin en küçükten ne kadar uzakta olduğunu bulur, sonra bunu toplam aralığa böleriz.

Örneğin yaşların 20 ile 60 arasında olduğunu ve 40 yaşını ölçeklediğimizi düşünelim:

$$ \frac{40-20}{60-20} = \frac{20}{40} = 0{,}5 $$

40 yaş aralığın tam ortasında olduğu için 0,5'e dönüşür. En küçük ve en büyük değer aynıysa bu formülün paydası sıfır olur. Tek bir aşırı büyük değer de diğerlerini dar bir aralığa sıkıştırabilir. Ölçekleme yöntemini verinin yapısına göre seçmeli, eğitim verisinden öğrendiğimiz ölçeği yeni verilere aynı biçimde uygulamalıyız.

Ağırlıklı Mesafe

Bazen ölçekler eşit olsa bile özelliklerin önemi gerçekten eşit değildir. Bir teslimat rotasında zaman farkı, yakıt farkından iki kat önemli kabul edilebilir. Böyle durumlarda her bileşene bir ağırlık verebiliriz. Ağırlıklı Öklid mesafesinin bir biçimi şöyledir:

$$ d_w(A,B) = \sqrt{ w_1(a_1-b_1)^2+w_2(a_2-b_2)^2+\cdots+w_n(a_n-b_n)^2 } $$

Buradaki $w_1,w_2,\ldots,w_n$ sayıları özelliklerin ağırlıklarıdır ve gerçek bir norm elde etmek için pozitif seçilir. Büyük ağırlık, o özellikteki farkın toplam mesafeyi daha çok etkilemesi demektir. Fakat ağırlıkları keyfî belirlemek modele kendi ön kabullerimizi yerleştirir. Bu nedenle ağırlıkların iş bilgisiyle, doğrulama sonuçlarıyla veya öğrenilen bir yöntemle gerekçelendirilmesi gerekir.

Seçtiğimiz Mesafe Yapay Zekânın Kararını Değiştirir

Bir yapay zekâ sistemi, yeni bir noktaya en yakın kaydın etiketini ona da verebilir. Bu basitleştirilmiş en yakın komşu yaklaşımında uzaklık ölçüsünün kararı nasıl değiştirdiğine bakalım.

Etiketini bilmediğimiz nokta $Q=(0,0)$ olsun. Elimizde kırmızı sınıfa ait $R=(3,3)$ ve mavi sınıfa ait $M=(5,0)$ noktaları bulunsun. Q'nun hangi noktaya daha yakın olduğunu üç ayrı ölçüyle hesaplayalım:

Ölçü	Q ile R arası	Q ile M arası	Daha yakın nokta
Manhattan $L_1$	$\|3\|+\|3\|=6$	$\|5\|+\|0\|=5$	Mavi M
Öklid $L_2$	$\sqrt{18}\approx 4{,}24$	$\sqrt{25}=5$	Kırmızı R
Maksimum $L_\infty$	$\max(3,3)=3$	$\max(5,0)=5$	Kırmızı R

Manhattan mesafesi yeni noktayı mavi, diğer iki ölçü kırmızı olarak sınıflandırır. Veriler aynı kaldığı halde seçtiğimiz uzaklık kuralı kararı değiştirdi. Gerçek bir projede bu kuralı problemin yapısına ve ayrı tutulan doğrulama verisindeki başarıya bakarak seçmeliyiz.

Kümeleme

Kümeleme yöntemleri, birbirine benzeyen verileri aynı grupta toplamaya çalışır. Müşterileri alışveriş davranışlarına göre, haberleri konularına göre veya sensör ölçümlerini çalışma biçimlerine göre gruplayabiliriz. Mesafe değiştiğinde komşuluklar değişeceği için kümelerin sınırları da değişebilir.

Yaygın k-ortalamalar yönteminin standart biçimi, kareli Öklid uzaklıklarının toplamını küçültür ve küme merkezini aritmetik ortalamayla bulur. Bu yöntemde mesafeyi gelişigüzel değiştiremeyiz. Manhattan mesafesine uygun bir merkez için aritmetik ortalama yerine ortanca değeri kullanan farklı yöntemler gerekebilir.

Sıra Dışı Verileri Bulma

Normal kayıtlardan çok uzakta kalan bir işlem, olası bir hata veya sıra dışı durum olabilir. Örneğin bir sensörün sıcaklık, basınç ve titreşim ölçümlerini bir vektörde tuttuğumuzu düşünelim. Yeni ölçümün normal çalışma kayıtlarına uzaklığı büyürse sistem uyarı verebilir. Ancak ölçekleme yapılmazsa sayısal aralığı en büyük olan sensör bütün kararı ele geçirebilir.

Model Hataları ve Düzenlileştirme

Bir modelin hata listesinin veya öğrendiği sayıların büyüklüğünü de normlarla ölçebiliriz. $L_2$ yaklaşımında büyük sapmalar kareleri nedeniyle daha çok ağırlık kazanır. $L_1$ yaklaşımı her sapmayı mutlak büyüklüğü kadar hesaba katar; bazı öğrenme yöntemlerinde çok sayıda değerin tam sıfıra yaklaşmasını teşvik edebilir. Optimizasyon ve model eğitimi konularında bu kullanımlara yeniden döneceğiz.

Her Veri Türü Aynı Mesafeyi Kullanmaz

$L_1$, $L_2$ ve $L_\infty$ sayısal vektörleri ölçer. “Kırmızı” ile “mavi” rengin farkını ise sayısal çıkarma işlemiyle bulamayız. Kategorik verilerde aynı veya farklı olmayı sayan ölçüler, kümelerde ortak eleman oranı, metinlerde de düzenleme sayısı daha uygun olabilir.

Kosinüs Benzerliği Mesafe midir?

Vektörler makalesinde iki vektör arasındaki açıya bakarak kosinüs benzerliğini hesaplamıştık. Metinleri temsil eden uzun vektörlerde bazen yön, uzunluktan daha önemli olabilir. Aynı kelime dağılımına sahip kısa ve uzun iki metin benzer yönlere bakabilir.

Kosinüs benzerliği büyüdükçe vektörler daha benzer kabul edilir; yani bu bir uzaklıktan çok benzerlik puanıdır. $1-\text{kosinüs benzerliği}$ ifadesi pratikte “kosinüs uzaklığı” adıyla kullanılabilir, ancak genel durumda her metrik koşulunu sağlamaz. Ayrıca sıfır vektörünün yönü olmadığı için paydada bulunan norm sıfır olur ve kosinüs hesabı tanımsız hale gelir. Kullandığımız aracın sıfır vektörünü nasıl ele aldığını bilmemiz gerekir.

Yüksek Boyutlarda Uzaklık

İki veya üç boyutta uzaklığı gözümüzde canlandırmak kolaydır. Oysa bir görüntü binlerce pikselden, bir metin binlerce sayısal özellikten oluşabilir. Boyut sayısı arttıkça her bileşendeki küçük farklar birikmeye başlar. Bazı veri dağılımlarında en yakın ve en uzak noktaların mesafeleri birbirine göre daha az ayırt edici hale gelebilir. Buna yüksek boyutluluğun getirdiği güçlüklerden biri olarak bakabiliriz.

Yüksek boyutta mesafe kullanırken gereksiz özellikleri azaltabilir, veriyi ölçekleyebilir ve alan bilgisine uygun bir ölçü seçebiliriz. Seçimin işe yarayıp yaramadığını gerçek bir doğrulama göreviyle sınamalıyız. Boyut sayısı tek başına hangi normun daha iyi olacağını söylemez.

Hangi Normu Ne Zaman Seçelim?

Tek bir reçete yoktur; yine de aşağıdaki sorular iyi bir başlangıç sağlar:

Problemdeki anlam	İlk düşünülebilecek ölçü	Neden?
Düz çizgi veya bütün yönlerin birlikte oluşturduğu büyüklük	$L_2$	Karelerin toplamıyla genel büyüklüğü ölçer.
Her bileşendeki değişim ayrı bir maliyet	$L_1$	Mutlak değişimleri tek tek toplar.
En kötü veya en büyük tekil fark belirleyici	$L_\infty$	Yalnızca en büyük bileşen farkına bakar.
Bazı özellikler daha önemli	Ağırlıklı ölçü	Önem farkını açıkça hesaba katar.
Yön önemli, vektör uzunluğu ikincil	Kosinüs benzerliği	İki vektör arasındaki açıya odaklanır.

Bu tablo ilk değerlendirme için kullanılabilir. Son karar, verinin nasıl üretildiğine, özelliklerin birimlerine ve aşırı değerlere de bağlıdır. Hataların ne anlama geldiğini ve modelin doğrulama verisindeki başarısını ayrıca incelemeliyiz.

Yaygın Hatalar ve Kontrol Soruları

Norm ile Mesafeyi Karıştırmak

$\lVert\mathbf{x}\rVert$ tek vektörün büyüklüğüdür. $d(A,B)$ iki nokta arasındaki mesafedir. Bir normdan mesafe üretirken önce fark vektörü hesaplanır. “B noktasının normu” ile “A ve B arasındaki mesafe” genellikle aynı sayı değildir.

Mutlak Değeri Unutmak

Manhattan normunda bileşenleri işaretleriyle toplarsak artı ve eksi değerler birbirini götürebilir. Örneğin $[3,-3]$ için $3+(-3)=0$ demek, sıfır olmayan bir vektöre sıfır büyüklük vermek olur. Doğru hesap $|3|+|-3|=6$ şeklindedir.

Özellikleri Ölçeklemeden Karşılaştırmak

Metre, kilogram ve lira gibi farklı birimleri ham sayılar halinde aynı formüle koymak, sonucu en büyük sayısal aralığa teslim edebilir. Mesafe hesabından önce her özelliğin anlamını ve ölçeğini kontrol etmeliyiz.

Benzerliği Nedensellik Sanmak

İki müşterinin sayısal olarak yakın olması, birinin davranışının diğerine neden olduğu anlamına gelmez. Mesafe yalnızca seçtiğimiz özellikler ve ölçü altında benzerliği gösterir. Eksik, hatalı veya önyargılı özellikler kullanırsak matematiksel olarak kusursuz bir mesafe bile yanlış bir iş anlamı taşıyabilir.

Pratik kontrol: Mesafe hesabından önce “Her bileşen neyi temsil ediyor?”, “Birimler karşılaştırılabilir mi?”, “Büyük fark mı, toplam fark mı önemli?” ve “Bu seçimin sonucu gerçek veride doğrulandı mı?” sorularını sormak çoğu hatayı erken yakalar.

Sonuç: Benzerliği Ölçmek Bir Model Tercihidir

Bir vektörün büyüklüğünü normla, iki nokta arasındaki ayrılığı mesafeyle ölçüyoruz. Mesafeyi çoğu zaman noktaların fark vektörüne norm uygulayarak bulabiliyoruz. Bunun tutarlı bir ölçü olması için normun negatif olmama, ölçekle uyum ve üçgen eşitsizliği koşullarını sağlaması gerekiyor.

Öklid normu düz çizginin uzunluğuna, Manhattan normu eksenler boyunca toplam harekete, maksimum norm en büyük tekil farka bakar. Aynı noktalarda farklı sonuçlar bulmamızın nedeni budur. Yapay zekâda seçtiğimiz ölçü, modelin hangi kayıtları birbirine yakın göreceğini etkiler.

Özelliklerin ölçekleri, birimleri ve ağırlıkları da sonucu değiştirir. Yüksek boyutlarda uzaklıklar beklediğimizden farklı davranabilir; kategorik verilerde veya yönün önemli olduğu temsillerde başka ölçüler gerekebilir. Bu yüzden ölçüyü alan bilgisiyle seçip gerçek veriler üzerinde doğrulamalıyız.

Norm, bir vektör alıp onun büyüklüğünü anlatan tek bir sayı üretir. Bu, girdiyi bir kuralla çıktıya dönüştüren fonksiyon fikrine bir örnektir. Bir sonraki makalede fonksiyonları inceleyerek norm ve mesafe hesaplarına daha geniş bir çerçeveden bakacağız.

Yazar: Levent KARAGÖL

Ölçü	Q ile R arası	Q ile M arası	Daha yakın nokta
Manhattan \(L_1\)	\(\|3\|+\|3\|=6\)	\(\|5\|+\|0\|=5\)	Mavi M
Öklid \(L_2\)	\(\sqrt{18}\approx 4{,}24\)	\(\sqrt{25}=5\)	Kırmızı R
Maksimum \(L_\infty\)	\(\max(3,3)=3\)	\(\max(5,0)=5\)	Kırmızı R