4. Fonksiyonlar

14 Ekim 2025

7 dakika

90 görüntüleme

Fonksiyonlar, yapay zekanın veriyi bir durumdan diğerine dönüştüren, tahmin ve karar mekanizmalarını modellemesini sağlayan en temel matematiksel süreçlerdir. Bu makalede, fonksiyonların temel tanımından başlayarak ters, parçalı ve bileşke gibi kritik türlerini, fonksiyonlarla temel işlemleri ve yapay zeka modellerinin özünü oluşturan çok değişkenli fonksiyonlar kavramını inceleyeceğiz.

Fonksiyon Nedir?

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı oluşmasını sağlayan kurallardır. Yapay zeka özelinde ise fonksiyonlar, bir sinir ağının bilgiyi nasıl işlediğinden bir modelin hatasını nasıl hesapladığına kadar her sürecin tam merkezinde yer alan, vazgeçilmez bir orkestrasyon elemanıdır.

Çok basit bir fonksiyon ile başlayalım. Aşağıda birinci dereceden tek değişkenli, lineer bir fonksiyon yer almaktadır.

$$ \begin{aligned} & f(x) = 4x + 3 \\ \end{aligned} $$

Bu fonksiyon, verilen her x değeri için x'in 4 katından 3 fazla çıktı üretir. Verilen örnek x değerleri için çıktılar aşağıdaki gibi olacaktır.

x	f(x)
1	7
2	11
3	15

Ters Fonksiyon

Bazen bir fonksiyonun yaptığı işlemi tersine çevirmek isteriz. Bir çıktıyı alıp, bu çıktıyı üreten orijinal girdinin ne olduğunu bulmak için ters fonksiyon devreye girer ve $f^{-1}$ ile gösterilir. Bir fonksiyonun tersini bulmak için f(x) yerine "y" yazılır ve ardından denklemde "x" yalnız bırakılır. Son adımda, x yerine $f^{-1}$ ve y yerine x yazılarak fonksiyonun tersi elde edilir.

$$ \begin{aligned} & f(x) = 4x + 3 \\ \\ & y = 4x + 3 \\ & y -3 = 4x \\ & x = \frac{y - 3}{4} \\ \\ & f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{4} \\ \end{aligned} $$

Parçalı Fonksiyon

Bazen tek bir kural, bir durumu modellemek için yeterli olmaz. Tanım kümesinin farklı aralıklarında, farklı davranışlar sergilememiz gerekebilir. Parçalı fonksiyonlar bu ihtiyaca cevap verir. Fonksiyona geçilen sayının farklı değerleri için farklı formüller işletir ve fonksiyonun davranışını değiştirir.

Aşağıda örnek bir parçalı fonksiyon görüyoruz (Aslında burada yazdığımız basit fonksiyon, mutlak değer fonksiyonunun kendisidir).

$$ \begin{aligned} & f(x) = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \\ \end{cases} \end{aligned} $$

Bileşke Fonksiyonlar

Sistemler genellikle tek bir işlemden oluşmaz; bir işlemin çıktısı, bir sonrakinin girdisi olur. Bu zincirleme reaksiyonun matematiksel adı bileşke fonksiyondur.

$f$ ve $g$ iki fonksiyon olmak üzere, $g$ fonksiyonunun çıktısını $f$ fonksiyonuna girdi olarak veren yeni fonksiyona "$f$ bileşke $g$" denir ve "$(fog)(x)$" olarak gösterilir. Pratikte bu işlemin fonksiyonları sırasıyla çağırmaktan farkı yoktur. Ancak birleşim işleminde sıra önemlidir.

$$ \begin{aligned} & g(x) = X + 3 \\ & f(x) = x^2 \\ \\ & (fog)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 \\ \\ & (fog)(2) = f(g(2)) = f(2 + 3) = f(5) = 5^2 = 25 \\ \end{aligned} $$

Bir derin sinir ağı (Deep Neural Network), baştan sona devasa bir bileşke fonksiyondur. Girdi verisi, ilk katmanın fonksiyonundan geçer. İlk katmanın çıktısı ikinci katmanın fonksiyonuna girdi olur ve bu süreç son katmana kadar devam eder.

Çok Değişkenli Fonksiyon

Fonksiyonlar birden fazla değişkeni girdi olarak kabul edebilir. Aslında derin öğrenmede kullanılan fonksiyonlar hemen her zaman çok değişkenlidir.

$$ \begin{aligned} & f(x) = 4x^2 -3y + 6 \\ \\ & f(2, 1) = 4.2^2 - 3.1 + 6 = 16 - 3 + 6 = 19 \\ \end{aligned} $$

Fonksiyonlarda Aritmetik İşlemler

Fonksiyonları kendi arasında aritmetik işlemlere tabii tutmak, içerdikleri formülleri parantez dahilinde bu işlemlere tabii tutmaya eşdeğerdir. İki farklı fonksiyon için dört işlemin yapılışını örnekleyelim.

$$ \begin{aligned} & f(x) = 2x + 3 \\ & g(x) = x - 1 \\ \\ & (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 3) + (x - 1) = 3x + 2 \\ \\ & (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x + 3) - (x - 1) = x + 4 \\ \\ & (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (2x + 3) . (x - 1) = 2x^2 + x -3 \\ \\ & (f / g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(2x + 3)}{(x - 1)} \\ \end{aligned} $$

Sonuç: Dönüşüm Aracı Olarak Fonksiyonlar

Bu makalede gördüğümüz gibi, fonksiyonlar sadece birer matematiksel denklem değil, yapay zekanın veriyi anlamlandırma, dönüştürme ve ondan bir sonuç çıkarma sürecinin her adımını tanımlayan dinamik mekanizmalardır. Bir modelin en küçük parçasından en karmaşık davranışına kadar her yerde, bir girdiyi alıp bir çıktıya dönüştüren bu temel yapıya rastlarız.

Parçalı Fonksiyonlar: Tanım kümesinin farklı bölgelerinde farklı kurallar uygulama yeteneği, modern derin öğrenmenin temel taşı olan ReLU gibi aktivasyon fonksiyonlarının kalbinde yer alır.
Bileşke Fonksiyonlar: Bir fonksiyonun çıktısının diğerinin girdisi olması, katman katman bilgiyi işleyen derin sinir ağlarının matematiksel olarak birer devasa bileşke fonksiyonu olarak nasıl modellenebileceğini gösterir.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar:: Yapay zeka problemlerinin tek bir girdiden ibaret olmadığını, binlerce hatta milyonlarca özniteliği (parametreleri) girdi olarak alan ve tek bir hata skoru üreten maliyet fonksiyonlarının, model eğitiminin özünü oluşturduğunu ortaya koyar.

Bir yapay zeka modelini tasarlamak veya anlamak, aslında bu fonksiyonel yapı taşlarını doğru bir şekilde bir araya getirme sanatıdır. Hangi aktivasyon fonksiyonunun seçileceği, modelin hatasını ölçmek için hangi maliyet fonksiyonunun kullanılacağı gibi kararlar, temelde farklı matematiksel fonksiyonlar arasında yapılan seçimlerdir. "Modelin öğrenmesi" dediğimiz süreç ise, bu devasa çok değişkenli fonksiyonun minimum noktasını bulma hedefiyle yapılan bir optimizasyon sürecidir.

Yazar: Levent KARAGÖL