22. Çıkarımsal İstatistik ve Hipotezler

18 Eylül 2026

28 dakika

171 görüntüleme

Sınırlı sayıdaki gözlemden daha büyük bir anakütle hakkında ne söyleyebiliriz? Çıkarımsal istatistik, örneklemenin getirdiği belirsizliği hesaba katarak ölçülü sonuçlar çıkarmamızı sağlar. Yapay zekâda da bir modelin test verisindeki başarısının, henüz karşılaşmadığı verilerde sürüp sürmeyeceğini değerlendirirken bu düşünceye ihtiyaç duyarız. Bu makalede örnekleme belirsizliğinin nasıl ortaya çıktığını günlük örnekler ve hesaplamalarla adım adım inceleyeceğiz. Önce örnekleme dağılımı, standart hata ve merkezî limit teoremini ele alıp nokta ve aralık tahminine, ardından güven aralığına geçeceğiz. Sonra sıfır ve alternatif hipotezleri, p-değerini, anlamlılık düzeyini, hata türlerini, test gücünü ve etki büyüklüğünü inceleyeceğiz.

Beş Gözlemden Daha Büyük Bir Dünyaya

Önceki Korelasyon ve Regresyon Analizi makalesinde beş öğrencinin çalışma süresi ile sınav puanı arasında güçlü, pozitif bir doğrusal ilişki bulmuştuk. Saçılım grafiğini incelemiş, korelasyonu hesaplamış ve en küçük kareler doğrusunun eğimini elde etmiştik. Bütün bu hesaplar elimizdeki beş öğrenciyi doğru biçimde betimliyordu.

Aynı okulun bütün öğrencilerini merak ediyorsak beş kişilik sonuç yeterli mi? Gördüğümüz yüksek korelasyon ve pozitif eğim okul genelinde de bulunabilir; seçtiğimiz öğrencilerin oluşturduğu rastlantısal bir sonuç da olabilir.

Betimsel istatistik elimizdeki veriyi özetler. Çıkarımsal istatistik (inferential statistics) bu veriyi kullanarak gözlemediğimiz daha geniş topluluk hakkında sonuç çıkarmaya çalışır. Başka öğrenciler seçseydik hesapladığımız değerler değişebilirdi. Bu değişkenliği, yani örnekleme belirsizliğini, sonuçla birlikte belirtmemiz gerekir.

Sonucu genellerken verinin nasıl oluştuğuna, örneklemin nasıl seçildiğine ve başka bir örneklemde hesabın ne kadar değişebileceğine bakmalıyız.

Anakütle, Örneklem, Parametre ve İstatistik

Bir şehrin bütün hanelerinin aylık elektrik tüketimini öğrenmek istediğimizi düşünelim. İncelemek istediğimiz hanelerin tamamına anakütle veya evren (population) deriz. Bu anakütleden gerçekten gözlediğimiz daha küçük gruba ise örneklem (sample) denir.

Anakütleye ait, çoğu zaman bilmediğimiz sayısal özelliğe parametre denir. Anakütlenin gerçek ortalamasını $\mu$, gerçek standart sapmasını $\sigma$ ile gösteririz. Örneklemden hesapladığımız sayısal özelliğe istatistik denir. Örneklem ortalaması $\bar{x}$, örneklem standart sapması $s$ buna örnektir.

Kavram	Anakütlede	Örneklemde
Ortalama	Parametre: $\mu$	İstatistik: $\bar{x}$
Standart sapma	Parametre: $\sigma$	İstatistik: $s$
Korelasyon	Parametre: $\rho$	İstatistik: $r$

Örneklemde $\bar{x}=312$ kWh bulduğumuzu düşünelim. Bu sayı, anakütle ortalaması $\mu$ için tahminimizdir; $\mu$'nün tam olarak 312 kWh olduğunu bilmeyiz. Başka haneler seçseydik örneklem ortalaması 309 veya 317 kWh çıkabilirdi.

Olabilirlik, Log-Olabilirlik ve Parametre Tahmini makalesinde MLE ve MAP ile veriye dayalı tek bir parametre değeri seçmiştik. Şimdi başka bir örneklem seçilseydi bu değerin ne kadar değişebileceğini soruyoruz. Nokta tahmininin yanında belirsizliği de bildirmek, bilinmeyen gerçek değeri yorumlamamıza yardım eder.

“Şehirdeki haneler” derken bugün aktif aboneliği olanları mı, bütün konutları mı, yazlıkları da mı kastediyoruz? Sonucu genelleyeceğimiz topluluğu baştan tanımlamalıyız. Aksi hâlde doğru bir hesap yapsak bile sonucun kimler için geçerli olduğunu söyleyemeyiz.

Temsil Gücü Sayıdan Önce Gelir: Örnekleme

Gündüz saatlerinde bir alışveriş merkezinden bin kişi seçsek gece çalışanları, evinden çıkamayanlar veya o bölgede yaşamayanlar örneklemde yeterince yer almayabilir. Bu durumda bin kişilik sonuç, daha iyi seçilmiş yüz kişilik bir örneklemden güvenilir olmak zorunda değildir. Gözlem sayısını artırmak seçim yöntemindeki sistematik sapmayı gidermez.

Basit rastgele örneklemede belirli büyüklükteki her olası örnekleme eşit seçilme şansı verilir; böylece anakütledeki her birim eşit seçilme olasılığı taşır. Uygulamada tabakalı, kümeli veya sistematik örnekleme gibi başka tasarımlar da kullanılabilir. Önemli olan, örneklemin hangi mekanizmayla oluştuğunu bilmek ve bu mekanizmayı hesaplamada hesaba katmaktır.

Üç farklı sorun birbirine karıştırılmamalıdır:

Örnekleme değişkenliği: İyi tasarlanmış rastgele örneklemler bile yalnızca şans nedeniyle birbirinden farklı sonuç verir.
Seçim yanlılığı: Bazı grupların örnekleme girme olasılığı sistematik olarak daha yüksek veya daha düşüktür.
Ölçüm yanlılığı: Soru biçimi, cihaz, etiketleme süreci veya kayıt sistemi değerleri sürekli aynı yönde saptırır.

Örneklemi büyütmek rastgele dalgalanmayı azaltabilir. Çevrim içi anketi yalnızca internet kullanıcılarına gönderiyorsak internete erişmeyenler yine dışarıda kalır. Hatalı kalibre edilmiş bir tartıyla daha çok ölçüm yapmak da ölçüm yanlılığını gidermez. Bu yüzden verinin nasıl toplandığını hesaplamadan önce incelemeliyiz.

Bir İstatistik de Değişken Olabilir

Anakütleden rastgele 25 kişi seçip boy ortalamasını hesapladığımızı düşünelim. Sonra bu kişileri geri bırakıp yeni bir 25 kişi seçelim. İkinci örneklemin ortalaması büyük olasılıkla birincinin aynısı olmayacaktır. Bu işlemi binlerce kez tekrarlayabilseydik binlerce $\bar{x}$ değeri elde ederdik.

Belirli bir örneklem elimizdeyken $\bar{x}$ yalnızca bir sayıdır. Fakat örneklemi seçmeden önce hangi kişilerin geleceği rastgele olduğundan, $\bar{X}$ de bir rastgele değişken gibi davranır. Aynı büyüklükteki bütün olası örneklemlerden doğabilecek $\bar{X}$ değerlerinin dağılımına örnekleme dağılımı (sampling distribution) denir.

Tek tek kişilerin boy dağılımıyla örneklem ortalamalarının dağılımını ayıralım. İkisinin merkezi aynı yerde olabilir, fakat 25 kişilik ortalamalar bireysel boylardan daha az dağılır. Bir kişinin sıra dışı yüksekliği veya düşüklüğü ortalama alınırken diğer kişilerle dengelenir.

Veri dağılımı ile bir istatistiğin örnekleme dağılımı farklıdır. Çıkarımsal istatistiğin güven aralıkları ve testleri çoğunlukla ikinci dağılıma dayanır.

Örneklem Ortalamasının Merkezi

Anakütleden seçilen her gözlemi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ ile gösterelim. Hepsinin beklenen değeri $\mu$ olsun. Örneklem ortalaması:

$$ \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} $$

Daha önce Beklenen Değer ve Varyans makalesinde beklenen değerin toplam boyunca dağıldığını görmüştük. Bu kuralı uygularsak:

$$ \begin{aligned} E[\bar{X}] &=E\left[\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\right] \\ &=\frac{E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]}{n} \\ &=\frac{n\mu}{n}=\mu \end{aligned} $$

Bu eşitlik, örneklem ortalamasının yansız bir tahmin edici olduğunu söyler. Buradaki anlam, tek bir örneklemin mutlaka doğru ortalamayı vereceği değildir. Aynı yöntemle çok sayıda örneklem alabilseydik, bunlardan elde edilen ortalamaların uzun dönemdeki merkezi gerçek $\mu$ olurdu.

Bir tahmin edici tekrar tekrar kullanıldığında hedefin aynı tarafında kalıyorsa yanlıdır (biased). Yansız bir yöntem de çok değişken sonuçlar üretebilir. Bazı problemlerde küçük ve bilinen bir yanlılığı olan, ama daha kararlı sonuç veren yöntem daha yararlı olabilir.

Belirsizliğin Ölçüsü: Standart Hata

Şimdi örneklem ortalamalarının ne kadar yayıldığını bulalım. Gözlemlerin birbirinden bağımsız olduğunu ve her birinin varyansının $\sigma^2$ olduğunu varsayalım. Bağımsız değişkenlerin toplamında varyanslar toplandığı için:

$$ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\bar{X}) &=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) \\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i) \\ &=\frac{1}{n^2}\,n\sigma^2 =\frac{\sigma^2}{n} \end{aligned} $$

Varyansın karekökünü aldığımızda örneklem ortalamasının standart sapmasını elde ederiz:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Buna standart hata (standard error) denir. Anakütle standart sapması $\sigma$, tek tek gözlemlerin ne kadar değiştiğini anlatır. Standart hata ise örneklem ortalamamızın örneklemden örnekleme ne kadar değişeceğini anlatır. İkisi aynı birimi taşır, fakat farklı sorulara cevap verir.

Gerçek $\sigma$'yı çoğu zaman bilmeyiz. O zaman onu örneklem standart sapması $s$ ile tahmin ederiz:

$$ \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{n}} $$

Bu temel formül bağımsız seçimlere dayanır. $N$ birimlik sonlu bir anakütleden yerine koymadan basit rastgele örnekleme yapıyor ve anakütlenin kayda değer bir bölümünü seçiyorsak örneklemde kalan belirsizlik daha da azalır. Bu durumda standart hata sonlu anakütle düzeltmesi ile çarpılır:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X}) =\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} $$

Örneklem anakütleye göre çok küçükse düzeltme çarpanı 1'e yakındır ve temel formül yeterli olur. Anakütlenin tamamını gözlediğimiz $n=N$ durumunda çarpan sıfıra iner; artık örnekleme belirsizliği kalmaz.

Örneklemi 4 katına çıkarırsak standart hata yarıya iner. Gözlem sayısını 2 katına çıkarmak ise standart hatayı $1/\sqrt{2}$, yani yaklaşık $0{,}707$ katına indirir. Veri arttıkça belirsizlik azalır, fakat aynı oranda değil.

Ortalamaların Şekli: Merkezî Limit Teoremi

Anakütledeki değerlerin Normal dağılmadığını düşünelim. Teslimat süreleri sağa çarpık olabilir; çoğu paket zamanında gelirken az sayıdaki paket çok gecikebilir. Buna rağmen aynı dağılımdan gelen, birbirinden bağımsız ve sonlu varyansa sahip gözlemlerin yeterince büyük örneklemlerinden hesaplanan ortalamalar çoğu durumda yaklaşık Normal bir dağılım oluşturur. Bu sonuca merkezî limit teoremi (central limit theorem) denir.

Teoremin sağladığı yaklaşık standartlaştırma şöyledir:

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\approx N(0,1) $$

Payda, biraz önce türettiğimiz standart hatadır. Formül, örneklem ortalamasının gerçek ortalamadan kaç standart hata uzakta olduğunu söyler. Yaklaşık Normal biçim sayesinde daha önce öğrendiğimiz Normal dağılım olasılıklarını, anakütlenin kendisi Normal olmasa bile ortalamalar için kullanabiliriz.

Teoremi kullanırken şu sınırları akılda tutalım:

Teorem, ham verinin örneklem büyüdükçe Normal dağılıma dönüştüğünü söylemez; örneklem ortalamasının dağılımı yaklaşık Normal olur.
“$n=30$ her zaman yeterlidir” biçiminde evrensel bir eşik yoktur. Güçlü çarpıklık, ağır kuyruklar ve aykırı değerler daha büyük örneklem gerektirebilir.
Bağımlı gözlemler özel dikkat ister. Aynı kullanıcının yüz işlemini yüz bağımsız kişi gibi saymak, etkili örneklem büyüklüğünü abartabilir.

Anakütle Normal dağılıyorsa örneklem ortalaması her $n$ için Normaldir. Diğer dağılımlarda yaklaşımın kalitesi, verinin biçimine, örneklem büyüklüğüne ve gözlemler arasındaki bağımlılığa bağlıdır.

Tahmin Edici Ne Kadar İyi? Yanlılık ve Değişkenlik

Bilinmeyen bir parametreyi hesaplamak için kullandığımız kurala tahmin edici (estimator), belirli veriyi bu kurala yerleştirince elde ettiğimiz sayıya tahmin (estimate) denir. “Örneklem ortalamasını kullan” bir tahmin edicidir; bu örneklemde bulunan 72 değeri bir tahmindir.

İyi bir tahmin edicide iki özelliği birlikte ararız. Birincisi, uzun dönemde hedefin yanlış tarafında kalmaması, yani küçük yanlılıktır. Tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre arasındaki farka yanlılık (bias) deriz:

$$ \operatorname{Bias}(\hat{\theta}) =E[\hat{\theta}]-\theta $$

Buradaki beklenen değer, aynı veri toplama sürecini çok sayıda kez tekrarlayabilseydik elde edeceğimiz tahminlerin merkezidir. Yanlılık sıfırsa tahmin edici uzun dönemde hedefin çevresinde merkezlenir; bu, tek bir tahminin hatasız olacağı anlamına gelmez.

İkinci özellik, örneklem değiştiğinde tahminin çok fazla savrulmaması, yani küçük varyanstır. Gerçek değer ile tahmin arasındaki karesel farkın uzun dönem ortalamasına ortalama karesel hata (mean squared error, MSE) denir:

$$ \operatorname{MSE}(\hat{\theta}) =E\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right] $$

Bu ölçünün neden iki hata kaynağına ayrıldığını görmek için tahminden önce tahmin edicinin merkezi olan $E[\hat{\theta}]$'yı çıkarıp sonra yeniden ekleyelim:

$$ \begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat{\theta}) &=E\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right] \\ &=E\left[\left((\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])+(E[\hat{\theta}]-\theta)\right)^2\right] \\ &=\operatorname{Var}(\hat{\theta}) +\left(E[\hat{\theta}]-\theta\right)^2 \\ &=\operatorname{Var}(\hat{\theta}) +\operatorname{Bias}(\hat{\theta})^2 \end{aligned} $$

Kare açıldığında oluşan çapraz terimin beklenen değeri sıfırdır; çünkü $\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]$ sapmalarının merkezi tanım gereği sıfırdır. Geriye örneklemler arasındaki yayılımı anlatan varyans ile merkezdeki sistematik uzaklığın karesi kalır.

Burada $\theta$ bilinmeyen parametre, $\hat{\theta}$ onu veriden tahmin eden rastgele niceliktir. Şapka işareti tahmin edilen değeri gerçek parametreden ayırır. Eşitlik, MSE'nin hem sistematik uzaklık hem de örneklemler arasındaki değişkenlik yüzünden büyüyebileceğini gösterir. Yanlılık sıfır olsa bile varyans büyük kalabilir.

Makine öğrenmesindeki yanlılık–varyans dengesi de aynı temel düşüncenin daha geniş bir görünümüdür: Çok katı bir model düzenli biçimde eksik öğrenebilir; aşırı esnek bir model ise eğitim örneklemindeki rastlantılara fazla duyarlı olabilir.

Tek Sayı Yetmediğinde: Güven Aralığı

Örneklem ortalamasını 72 saniye bulmuş olabiliriz. Bu sayı, anakütle ortalamasının 71,9 saniyeye mi yoksa 65 saniyeye mi yakın olduğunu tek başına göstermez. Nokta tahmininin çevresine bir aralık kurarak örnekleme belirsizliğini de ifade ederiz.

Örnekleme dağılımı yaklaşık Normal ve anakütle standart sapması biliniyorsa, anakütle ortalaması için $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki aralık şöyle yazılır:

$$ \bar{x}\;\pm\;z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Formül üç parçadan oluşur: merkezde nokta tahmini $\bar{x}$, belirsizliği ölçen standart hata ve aralığın ne kadar güvenli olmasını istediğimizi belirleyen kritik değer $z_{1-\alpha/2}$. Yüzde 95 güven düzeyinde $\alpha=0{,}05$ ve kritik değer yaklaşık $1{,}96$'dır:

$$ \text{yüzde 95 güven aralığı} =\bar{x}\pm1{,}96\times\operatorname{SE}(\bar{x}) $$

Artı-eksi işaretinden sonraki bölüme hata payı (margin of error) denir. Daha yüksek güven düzeyi daha büyük kritik değer ve daha geniş aralık getirir. Daha büyük örneklem ise standart hatayı küçülterek aralığı daraltır.

Bir Güven Aralığını Adım Adım Kuralım

Bir çağrı merkezinde rastgele seçilmiş 100 görüşmenin bekleme süresi ortalaması $\bar{x}=72$ saniye, örneklem standart sapması $s=10$ saniye olsun. Anakütle standart sapmasını bilmediğimiz için standart hatayı örneklemden tahmin edelim:

$$ \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{x}) =\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{10}{\sqrt{100}} =1\text{ saniye} $$

Örneklem büyük olduğu için Normal yaklaşımı kullanarak yaklaşık yüzde 95 güven aralığını hesaplayalım:

$$ \begin{aligned} 72\pm1{,}96\times1 &=72\pm1{,}96 \\ &=[70{,}04,\;73{,}96] \end{aligned} $$

Aynı standart sapmayla yalnızca 25 görüşme gözleseydik standart hata $10/\sqrt{25}=2$ saniye olurdu. Aynı örneklem ortalaması için aralık $[68{,}08,75{,}92]$ biçiminde iki kat genişlerdi. Nokta tahmini değişmese de daha az veriyle belirsizliğimiz artardı.

Burada $\sigma$ yerine $s$ kullandık. Küçük örneklemlerde bu ek belirsizliği hesaba katmak için Normal dağılımın $z$ kritik değeri yerine Student'ın t dağılımı kullanılır. Bir sonraki makalede t-testini işlerken bu dağılımı ve serbestlik derecesini ayrıntılı biçimde kuracağız.

“Yüzde 95 Güven” Ne Demektir?

Güven düzeyinin yorumu yöntemin uzun dönemli başarısıyla ilgilidir. Aynı örnekleme ve aralık kurma sürecini çok sayıda kez tekrarlasaydık, yüzde 95 güven aralıklarının yaklaşık yüzde 95'i gerçek $\mu$'yü kapsardı.

Belirli bir örneklemden $[70{,}04,73{,}96]$ aralığını kurduktan sonra klasik, yani sıklıkçı yorumda “$\mu$'nün bu aralıkta olma olasılığı yüzde 95'tir” demeyiz. Parametre sabittir; değişen şey örneklem ve ondan doğan aralıktır. Bu aralık ya gerçek değeri kapsar ya da kapsamaz, fakat hangi durumda olduğumuzu bilmiyoruz.

Daha önceki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi makalesindeki Bayesçi yaklaşım, parametre için bir öncül dağılım belirleyip veri sonrasında doğrudan olasılık ifadesi kurabilir. Güven aralığı ile Bayesçi inanırlık aralığı bazen benzer sayılar üretse de dayandıkları soru ve yorum aynı değildir.

Yüzde 95 güven, gözlemlerin yüzde 95'inin aralıkta kalacağı veya gelecekteki tek bir değerin yüzde 95 olasılıkla burada bulunacağı anlamına gelmez. Ortalama parametresi için güven aralığı ile bireysel bir gelecek gözlemi için tahmin aralığı farklıdır.

İstenen Kesinlik İçin Kaç Gözlem?

Bir ortalama için hata payının en fazla $E$ olmasını istediğimizi düşünelim. Normal yaklaşımda hata payı:

$$ E=z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Bu eşitliği $n$ için çözersek yaklaşık örneklem büyüklüğünü buluruz:

$$ n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2 $$

Standart sapmanın yaklaşık 10 birim olduğunu bildiğimiz ve yüzde 95 güvenle hata payını 2 birimde tutmak istediğimiz bir durumda:

$$ n\approx\left(\frac{1{,}96\times10}{2}\right)^2 =96{,}04 $$

Gözlem sayısı kesirli olamayacağı ve hedef kesinliğin altına düşmemek gerektiği için yukarı yuvarlayıp en az 97 gözlem seçeriz. Hata payını 1 birime indirmek istersek sonuç yaklaşık 385 olur. Belirsizliği yarıya indirmek için yaklaşık dört kat veri gerektiren karekök kuralını yeniden görüyoruz.

Bu hesapta basit rastgele örnekleme, bağımsız gözlemler, ortalama tahmini ve makul bir $\sigma$ bilgisi varsaydık. Gerçek standart sapmayı bilmiyorsak benzer çalışmalara, küçük bir pilot çalışmaya veya ihtiyatlı bir üst sınıra bakabiliriz. $\sigma$'yı gereğinden küçük seçersek gerekli örneklem sayısını da küçük hesaplarız.

Katılımcı kaybı, kümeli örnekleme, sonlu anakütle veya farklı bir istatistik gerekiyorsa planı yeniden yaparız. Ana hedef bir hipotez testiyse örneklem sayısını istenen hata payının yanında yakalamak istediğimiz en küçük anlamlı etkiye ve hedef test gücüne göre seçeriz. Veri toplama biçimi de hesap kadar belirleyicidir.

Formül Zor Olduğunda: Bootstrap Düşüncesi

Ortalamanın standart hatası için temiz bir formülümüz var. Ortanca, karmaşık bir oran veya bir model performans farkı için örnekleme dağılımını analitik olarak çıkarmak daha zor olabilir. Bootstrap, elimizdeki örneklemi geçici olarak anakütlenin küçük bir temsili kabul edip belirsizliği yeniden örnekleme yoluyla yaklaşıklar.

Elimizde $n$ gözlem varsa, bu gözlemlerden yerine koyarak yine $n$ gözlem seçeriz. Bu yüzden bazı kayıtlar birden fazla kez gelebilir, bazıları hiç gelmeyebilir.
İlgilendiğimiz istatistiği yeni örneklemde hesaplarız.
Bu işlemi yüzlerce veya binlerce kez tekrarlayıp istatistiklerin dağılımını inceleriz.
Dağılımın yayılımından standart hata ve uygun yöntemle güven aralığı tahmin ederiz.

Bootstrap, başlangıç örnekleminin yanlılığını düzeltemez; yeniden seçilen kayıtlar aynı kaynaktan gelir. Zaman serisinde, aynı kişiden tekrarlı ölçümlerde veya kümeli veride satırları bağımsızmış gibi seçmek de gözlemler arasındaki bağımlılığı bozabilir.

Bootstrap tekrarlarını artırmak hesabı daha kararlı kılar; asıl örneklemin büyüklüğünü veya temsil gücünü değiştirmez. Çok küçük örneklemlerde, güçlü çarpıklıkta ya da 0'a yakın bir oran gibi sınırdaki parametrelerde basit yüzdelik aralıkları hedeflenen kapsama oranını vermeyebilir. Yeniden örnekleme yöntemini verinin yapısına göre seçmeliyiz.

Bir İddiayı Sınamak: Hipotezler

Güven aralığı “seçtiğimiz model ve yöntem altında hangi parametre değerleri veriyle uyumludur?” sorusuna yaklaşır. Bazen daha keskin bir iddiayı değerlendirmek isteriz. Bir dolum makinesi paketleri ortalama 500 gram dolduruyor mu? Yeni bir modelin hata oranı eskisinden farklı mı? Bir regresyon eğimi anakütlede gerçekten sıfırdan farklı mı?

İstatistiksel hipotez, anakütle veya veri üretim süreci hakkında sınanabilir bir iddiadır. Hipotez testinde iki ifade kurarız:

Sıfır hipotezi $H_0$: Karşılaştırma için başlangıç kabulüdür; çoğu zaman “fark yok”, “etki yok” veya “parametre belirli bir değere eşit” biçimindedir.
Alternatif hipotez $H_1$ ya da $H_A$: Verinin destekleyip desteklemediğini araştırdığımız diğer olasılıktır.

Dolum makinesi örneğinde iki yönlü bir soru soralım:

$$ H_0:\mu=500 $$ $$ H_1:\mu\ne500 $$

İki yönlü alternatif, makinenin hem eksik hem fazla doldurmasını önemli sayar. Yalnızca eksik dolumla ilgilenseydik $H_1:\mu<500$ biçiminde tek yönlü bir hipotez kurabilirdik. Yön, veriyi gördükten sonra daha küçük p-değeri elde etmek için seçilmemelidir; araştırma sorusu ve kararın sonuçları düşünülerek önceden belirlenmelidir.

Hipotez Testinin Mantık Zinciri

Hipotez testinde önce $H_0$'ın doğru olduğunu varsayarız. Ardından bu varsayım altında gözlediğimiz kadar veya daha uç bir sonucun ne sıklıkta ortaya çıkabileceğini sorarız. Bu hesap karşıt iddiayı doğrudan kanıtlamaz.

Araştırma sorusunu, $H_0$ ve $H_1$'i veri görülmeden önce açıklarız.
Yanlış alarm için kabul edeceğimiz üst sınırı, yani anlamlılık düzeyi $\alpha$'yı seçeriz.
Veriden, sıfır hipotezinden uzaklığı ölçen bir test istatistiği hesaplarız.
$H_0$ altında test istatistiğinin dağılımını belirleriz.
Gözlenen kadar veya daha uç sonuçların olasılığını, yani p-değerini buluruz.
p-değerini $\alpha$ ile karşılaştırır, kararı bağlam ve etki büyüklüğüyle birlikte yorumlarız.

Hangi sonuçların “daha uç” sayılacağı alternatif hipoteze bağlıdır. İki yönlü testte çok büyük ve çok küçük değerleri, tek yönlü testte önceden belirlediğimiz yöndeki değerleri hesaba katarız.

Dolum Makinesi İçin Z-Testi

Dolum makinesinin uzun dönem standart sapmasının geçmiş kalibrasyonlardan $\sigma=12$ gram olarak bilindiğini düşünelim. Rastgele seçilen $n=36$ paketin ortalaması $\bar{x}=504$ gram olsun. Sıfır hipotezi altındaki ortalama 500 gramdır.

Bu z-testini kullanırken paketlerin bağımsız seçildiğini ve örneklem ortalamasının Normal dağılıma yeterince iyi yaklaştığını da varsayıyoruz. Anakütle standart sapması bilinmiyorsa, özellikle küçük örneklemde aynı hesabı doğrudan z dağılımıyla yapmak yerine bir sonraki makalede göreceğimiz t-testine geçeriz.

Önce standart hatayı hesaplarız:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X}) =\frac{12}{\sqrt{36}} =2\text{ gram} $$

Gözlenen ortalama, sıfır hipotezindeki değerden 4 gram uzaktadır. Bu uzaklığın kaç standart hataya karşılık geldiğini $z$ test istatistiğiyle buluruz:

$$ z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{504-500}{12/\sqrt{36}} =\frac{4}{2}=2 $$

Buradaki $\mu_0=500$, sıfır hipotezinin ileri sürdüğü ortalamadır. $H_0$ doğruysa standartlaştırılmış ortalama yaklaşık standart Normal dağılım izler. İki yönlü testte $|Z|\ge2$ olasılığı yaklaşık $0{,}0455$'tir. Dolayısıyla p-değeri:

$$ p\approx0{,}0455 $$

Önceden $\alpha=0{,}05$ seçmişsek $p<\alpha$ olduğu için $H_0$'ı reddederiz. Veri, ortalamanın 500 gramdan farklı olduğuna dair bu eşikte istatistiksel kanıt sunar. Kararı raporlarken p-değerinin sınıra yakın olduğunu, farkın 4 gram olduğunu ve kullandığımız varsayımları da belirtiriz.

Aynı verinin yüzde 95 güven aralığı:

$$ 504\pm1{,}96\times2 =[500{,}08,\;507{,}92] $$

Aralık 500'ü çok küçük bir farkla dışarıda bırakır. İki yönlü yüzde 5 testin reddetmesiyle yüzde 95 güven aralığının sıfır hipotezindeki değeri dışlaması aynı yapının iki görünümüdür. Güven aralığı ayrıca etkinin makul büyüklüklerini gösterdiği için tek başına “reddet/reddetme” kararından daha fazla bilgi taşır.

P-Değeri Ne Söyler, Ne Söylemez?

P-değeri, sıfır hipotezi ve model varsayımları doğru kabul edildiğinde, gözlediğimiz test istatistiği kadar veya daha uç bir sonuç elde etme olasılığıdır. Dolum örneğinde p-değerinin yaklaşık $0{,}0455$ olması, $H_0$ doğruyken bu kadar uç veya daha uç bir örneklem sonucunun yaklaşık yüzde 4,55 olasılıkla görülebileceğini söyler.

Şunları söylemez:

“$H_0$'ın doğru olma olasılığı yüzde 4,55'tir” demez. P-değeri $P(\text{veri veya daha ucu}\mid H_0)$ ile ilgilidir; aradığımız $P(H_0\mid\text{veri})$ değildir.
“Sonucun yüzde 95 olasılıkla tekrar edeceğini” söylemez.
Etkinin büyük, önemli veya yararlı olduğunu göstermez.
Verinin rastlantı dışında hiçbir açıklaması olmadığını kanıtlamaz. Yanlı örnekleme, kötü ölçüm, yanlış model ve karıştırıcılar yine mümkündür.
$p>0{,}05$ olduğunda $H_0$'ın doğru olduğunu kanıtlamaz; veri yalnızca onu reddetmek için yeterli kanıt sunmamış olabilir.

P-değerini yorumlarken örneklemin nasıl seçildiğine, etki büyüklüğüne, güven aralığına ve testin varsayımlarına da bakarız. Önceki bilgiler ve yanlış kararın maliyeti de sonucun kullanımını etkiler.

Anlamlılık Düzeyi Bir Karar Kuralıdır

Anlamlılık düzeyi $\alpha$, sıfır hipotezi doğru olduğu hâlde onu reddetme riskine koyduğumuz uzun dönemli üst sınırdır. Yaygın $0{,}05$ değeri doğanın değişmez yasası değildir. Tıbbi güvenlik, fabrika kalite kontrolü veya düşük riskli bir keşif çalışması farklı hata maliyetlerine sahip olabilir.

Karar dili dikkatli olmalıdır:

Karşılaştırma	İstatistiksel karar	Doğru yorum
$p\le\alpha$	$H_0$ reddedilir.	Veri, seçilen eşikte $H_0$'a karşı kanıt sunar.
$p>\alpha$	$H_0$ reddedilemez.	Mevcut veri, $H_0$'ı reddetmek için yeterli kanıt sunmaz.

$H_0$'ı reddedememek onun doğru olduğunu göstermez. Küçük bir örneklemde gerçek ve önemli bir etki bulunsa bile testin bunu ayırt edecek gücü olmayabilir. Böyle bir sonuçta belirsizliği ayrıca incelemeliyiz.

İki Tür Yanlış Karar ve Test Gücü

Hipotez testi belirsizlik altında karar verdiği için iki tür hata yapabilir. Gerçek durum ile kararımızı yan yana koyalım:

Gerçek durum	$H_0$ reddedilmez	$H_0$ reddedilir
$H_0$ doğru	Doğru karar	I. tür hata: yanlış alarm
$H_1$ doğru	II. tür hata: gerçek etkiyi kaçırma	Doğru karar

I. tür hata olasılığı $\alpha$ ile denetlenir. II. tür hata olasılığı genellikle $\beta$ ile gösterilir. Gerçekte belirli bir etki varken testi doğru biçimde reddetme olasılığına test gücü (power) denir:

$$ \text{güç}=1-\beta $$

Güç testin tek ve değişmez bir sayısı değildir; hangi gerçek etki büyüklüğünü yakalamaya çalıştığımıza bağlıdır. Örneğin aynı testin 1 gramlık sapmayı fark etme gücü düşük, 20 gramlık sapmayı fark etme gücü yüksek olabilir. Bu yüzden “testin gücü yüzde 80” derken hangi etki büyüklüğü, örneklem sayısı, gürültü düzeyi ve $\alpha$ için konuştuğumuzu belirtmeliyiz.

Güç; gerçek etkinin büyüklüğü arttıkça, ölçüm gürültüsü azaldıkça, örneklem büyüdükçe ve diğer koşullar aynıyken daha gevşek bir $\alpha$ seçildikçe yükselir. Fakat $\alpha$'yı büyütmek yanlış alarm riskini de artırır. Yangın alarmını çok hassas yapmak küçük dumanları yakalar, ama yanmış ekmeğe de daha sık ötebilir.

Örneklem büyüklüğünü veri toplamadan önce, yakalamak istediğimiz en küçük anlamlı etkiye ve hedef güce göre planlarız. Anlamlı çıkmayan bir sonucun ardından yalnızca p-değerine bakarak geriye dönük güç hesabı yapmak, yetersiz örneklem tasarımını düzeltmez.

İstatistiksel Anlamlılık ile Pratik Önem

Çok büyük bir örneklem, önemsiz derecede küçük bir farkı bile istatistiksel olarak anlamlı gösterebilir. Bir internet hizmetinin ortalama yanıt süresini 200,00 milisaniyeden 199,95 milisaniyeye düşüren değişiklik, milyonlarca ölçümle çok küçük bir p-değeri üretebilir. Fakat kullanıcı bu 0,05 milisaniyelik farkı fark etmeyebilir ve değişikliğin maliyeti kazancından büyük olabilir.

Tersi de mümkündür. Küçük bir klinik çalışmada yaşam kalitesini belirgin artırabilecek bir etki görülür, fakat örneklem yetersiz olduğu için güven aralığı geniş ve p-değeri $0{,}05$'ten büyük kalabilir. Bu sonuç “etki yok” değil, “etkinin büyüklüğünü yeterli kesinlikle belirleyemedik” anlamına gelebilir.

Bu yüzden en az üç bilgiyi birlikte raporlarız:

Etki büyüklüğü: Farkın veya ilişkinin gerçek ölçekte ne kadar büyük olduğu.
Güven aralığı: Veri ve varsayımlarla uyumlu etki büyüklüklerinin aralığı.
P-değeri: $H_0$ altında gözlenen kadar uç bir sonucun ne kadar olağandışı olduğu.

İstatistiksel “anlamlılık”, seçtiğimiz eşikle ilgili bir karar sözcüğüdür. Gündelik dildeki “önemli” veya “değerli” yargısını ayrıca vermemiz gerekir.

Çok Sayıda Soru Sorunca Rastlantı Birikir

Bir veri kümesinde 20 ilgisiz değişkeni ayrı ayrı yüzde 5 anlamlılık düzeyinde test ettiğimizi düşünelim. Testler bağımsız ve bütün sıfır hipotezleri doğru olsaydı hiçbir yanlış alarm vermeme olasılığı $0{,}95^{20}$ olurdu. En az bir yanlış alarm olasılığı ise:

$$ 1-0{,}95^{20}\approx0{,}642 $$

Bu, yaklaşık yüzde 64'lük bir olasılıktır. Gerçek çalışmalarda testler bağımsız olmayabilir; sayı yalnızca çoklu denemelerin tehlikesini görünür kılan bir örnektir. Yeterince çok ilişki ararsak bazıları sırf rastlantıyla küçük p-değeri üretir.

Araştırma sorusunu sonuçları gördükten sonra değiştirmek, yalnızca anlamlı çıkan grupları raporlamak, veri gelmeye devam ederken her gün test edip ilk küçük p-değerinde durmak veya aynı test kümesinden tekrar tekrar model seçmek yanlış alarm oranını büyütür. Bu davranışların bütünü bazen p-hackleme veya veri eşeleme olarak adlandırılır.

Araştırmanın yapısına göre hipotezleri ve analiz planını önceden belirleyebilir, keşif sonuçlarını bağımsız veride doğrulayabilir veya çoklu karşılaştırma düzeltmesi uygulayabiliriz. Kaç karşılaştırma yaptığımızı raporlamak, bulunan küçük p-değerini yorumlamak için gereklidir.

Geçerli Bir Çıkarımın Dayandığı Koşullar

Bir testin veya güven aralığının yorumu, hesapta kullandığımız varsayımlara bağlıdır. Şu koşulları kontrol edelim:

Hedef ve örneklem: Örneklemin hangi anakütleyi temsil ettiği açık mı; kapsam dışı kalan gruplar var mı?
Rastgelelik ve bağımsızlık: Gözlemler gerçekten bağımsız mı, yoksa aynı kişi, sınıf, mağaza veya zaman dilimi içinde kümelenmiş mi?
Ölçüm kalitesi: Değişkenler doğru, tutarlı ve testten bağımsız biçimde ölçülmüş mü?
Dağılım veya büyük örneklem yaklaşımı: Seçilen testin Normal dağılım, eşit varyans veya başka biçim koşulları makul mü?
Eksik veriler: Kayıp gözlemlerin nedeni sonuçla ilişkili olabilir mi?
Analiz kararları: Hipotez, yön, durma kuralı ve dışlama ölçütleri veri görülmeden önce mi belirlendi?

Bir varsayım karşılanmadığında önce hangi yorumun etkilendiğini belirlemeliyiz. Veriye göre dönüşüm, dayanıklı bir yöntem, eşleştirilmiş analiz, kümeyi hesaba katan standart hata, permütasyon testi veya başka bir örnekleme tasarımı uygun olabilir.

İstatistiksel çıkarım, nedenselliği de kendiliğinden sağlamaz. Rastgele örnekleme anakütleye genelleme gücünü; rastgele atama ise uygun deney tasarımında nedensel karşılaştırmayı destekler. İnsanları yalnızca gözleyip güçlü bir ilişki bulmak, karıştırıcı değişkenleri otomatik olarak ortadan kaldırmaz.

Korelasyon ve Regresyona Çıkarımsal Gözle Dönmek

Önceki makalede örneklem korelasyonu $r$ ve regresyon eğimi $b_1$ hesaplamıştık. Bunlar eldeki noktaları betimler. Anakütledeki karşılıkları $\rho$ ve gerçek eğim $\beta_1$ ise bilmediğimiz parametrelerdir. Çıkarımsal soru artık şöyle olur:

$b_1$'in çevresindeki güven aralığı ne kadar geniştir?
$H_0:\beta_1=0$ altında bu kadar büyük bir eğim ne kadar olağandışıdır?
Sonuç birkaç etkili gözleme, doğrusal olmayan yapıya veya değişen hata yayılımına mı bağlıdır?
Aynı ilişki yeni bir örneklemde de görülebilir mi?

Örneklemde yüksek bir $r$ görmek, anakütlede güçlü ilişki bulunduğunu tek başına kanıtlamaz. Örneklem çok küçükse tahmin kararsız olabilir. Tersine, büyük örneklemde küçük bir korelasyon istatistiksel olarak sıfırdan farklı çıkabilir fakat pratikte zayıf kalabilir. Grafik, etki büyüklüğü, güven aralığı ve veri üretim süreci yine birlikte okunmalıdır.

Çok küçük bir p-değeri de gözlemsel ilişkinin karıştırıcı bir değişkenden kaynaklanmadığını göstermez. Test, seçtiğimiz modeldeki belirli bir sıfır hipotezini değerlendirir. Nedensel yorum için çalışma tasarımının da bu soruyu cevaplayabilmesi gerekir.

Yapay Zekâda Belirsizlikle Karar Vermek

Bir model test kümesinde yüzde 91, diğeri yüzde 90 doğruluk elde etti. Test kümesi gelecekte karşılaşacağımız verilerden yalnızca bir örneklem olduğu için başka kayıtlar seçseydik bu oranlar değişebilirdi. Yüzde 1'lik farkı değerlendirirken örnekleme belirsizliğini de hesaplamamız gerekir.

İki modeli aynı kayıtlar üzerinde deniyorsak tahminler eşleşir; ayrı örneklemlermiş gibi hesap yapmak bu bilgiyi kaybettirir. Her kullanıcıya ait çok sayıda kayıt varsa bağımsız birim satır yerine kullanıcı olabilir. Veri dağılımı zamanla değiştiğinde geçmiş test kümesi geleceği temsil etmeyebilir. Kullanacağımız testi seçmeden önce bağımsız birimi ve kayıtların nasıl üretildiğini belirlemeliyiz.

Bu belirsizlik hesabı yapay zekâ çalışmalarında şu sorulara yardım eder:

Model karşılaştırma: Gözlenen performans farkının örnekleme dalgalanmasıyla uyumlu olup olmadığını değerlendirir.
A/B deneyi: Yeni sıralama, öneri veya arayüzün kullanıcı davranışındaki etkisini güven aralığı ve testlerle inceler.
Alt grup değerlendirmesi: Model hatalarının farklı kullanıcı gruplarında ne kadar belirsizlik taşıdığını gösterir; küçük gruplarda geniş aralıklar görülebilir.
Veri kayması takibi: Girdi veya hata dağılımındaki değişimin olağan dalgalanmadan büyük olup olmadığını araştırır.
Deney tekrarlanabilirliği: Tek bir eğitim çalışmasının rastgele başlangıç, veri bölme veya örnek seçiminden ne kadar etkilendiğini görünür kılar.

Ancak aynı doğrulama kümesine tekrar tekrar bakıp yüzlerce model arasından en iyisini seçersek, bu küme artık tarafsız bir değerlendirme örneklemi olmaktan çıkar. Model kararlarımız onun rastlantılarına uyum sağlamaya başlar. Bağımsız bir son test kümesi veya doğru kurulmuş iç içe doğrulama, bu seçme yanlılığını sınırlamak için kullanılır.

Bir modelin verdiği yüzde 80 güven puanı ile bir araştırmanın yüzde 95 güven aralığı da aynı kavram değildir. İlki modelin belirli bir örnek için ürettiği bir skor veya kalibre edilmişse olasılık olabilir; ikincisi bir parametre tahmininin örnekleme belirsizliğini anlatır. Yüzde işareti iki sayıyı aynı anlama getirmez.

Model değerlendirmesinde “belirsizlik” de tek bir kaynaktan gelmez. Sabit bir modelin yeni test örneklerindeki başarısının değişmesi test örneklemesi belirsizliğidir; modeli farklı eğitim verisi veya rastgele başlangıçla yeniden eğittiğimizde sonucun değişmesi ise eğitim süreci değişkenliğidir. Yalnızca test satırlarını bootstrap ile yeniden seçmek ilkini yaklaşıklar, ikinciyi ölçmez. Hangi belirsizliği raporlamak istiyorsak deneyi o rastgelelik kaynağını tekrar edecek biçimde kurmalıyız.

Çıkarımsal İstatistikte Sık Yapılan Hatalar

Büyük örneklemi temsil gücü sanmak: Daha çok yanlı veri, yanlılığı ortadan kaldırmaz.
Standart sapma ile standart hatayı karıştırmak: İlki bireylerin, ikincisi tahminin örneklemler arasındaki değişkenliğidir.
Merkezî limit teoremini ham veriye uygulamak: Yaklaşık Normal olan çoğu durumda örneklem ortalamasının dağılımıdır.
Güven aralığını bireysel değer aralığı sanmak: Ortalama için güven aralığı, yeni bir kişinin değerini kapsamak için kurulmaz.
P-değerini hipotezin olasılığı sanmak: $P(\text{veri}\mid H_0)$ ile $P(H_0\mid\text{veri})$ aynı değildir.
$p>0{,}05$ ise “etki yok” demek: Testin gücü yetersiz veya aralık çok geniş olabilir.
$p<0{,}05$ ise etkiyi önemli sanmak: İstatistiksel anlamlılık, pratik önemi ölçmez.
Tek ve iki yönlü testi sonradan seçmek: Veri görüldükten sonra yön değiştirmek yanlış alarm oranını bozar.
Çoklu testleri yok saymak: Deneme sayısı arttıkça rastlantısal keşif olasılığı büyür.
Bağımlı gözlemleri bağımsız saymak: Aynı kişi veya kümeden gelen kayıtlar yapay biçimde dar güven aralıkları üretebilir.
İstatistiksel kanıtı nedensellik sanmak: Nedensel yorum için uygun deney veya güçlü bir nedensel tasarım gerekir.
Yalnızca eşiğin iki tarafına bakmak: $p=0{,}049$ ile $p=0{,}051$ bilimsel olarak birbirine çok yakındır; keskin etiketler belirsizliği gizleyebilir.

Bir Sonucu Okurken İzlenecek Yol

Hedef anakütleyi sorun. Sonuç tam olarak kimlere, hangi zamana ve hangi koşullara genelleniyor?
Örneklemin nasıl oluştuğunu inceleyin. Rastgele seçim, gönüllülük, eksik yanıt ve kapsam dışı gruplar neler?
Deney birimini belirleyin. Bağımsız bilgi satırdan mı, kişiden mi, kurumdan mı geliyor?
Nokta tahminine bakın. Gözlenen farkın, ortalamanın veya ilişkinin gerçek ölçekteki büyüklüğü nedir?
Belirsizliği okuyun. Standart hata ve güven aralığı ne kadar geniş; pratik açıdan önemli değerleri içeriyor mu?
Hipotezleri ve test yönünü kontrol edin. Bunlar veri görülmeden önce mi tanımlandı?
P-değerini doğru koşullu ifadeyle yorumlayın. Hipotezin doğru olma olasılığına dönüştürmeyin.
Varsayımları inceleyin. Bağımsızlık, dağılım, varyans, ölçüm ve eksik veri koşulları makul mü?
Çoklu denemeleri sayın. Raporlanan sonucun arkasında kaç farklı karşılaştırma yapıldı?
İstatistiksel ve pratik kararı ayırın. Etki gerçek olsa bile alınacak karara değecek kadar büyük mü?
Tekrarlanabilirliği arayın. Sonuç bağımsız veri, yeni dönem veya farklı örneklemde doğrulandı mı?

Sonuç: Örneklemden Anakütleye

Örneklemden hesapladığımız ortalama ile anakütlenin bilinmeyen ortalaması aynı sayı olmak zorunda değil. Üstelik örneklemi nasıl seçtiğimiz, gözlem sayısı kadar belirleyici. Farklı örneklemlerden farklı sonuçlar elde edeceğimizi düşünerek örnekleme dağılımını kurduk ve bu değişkenliği hesaplamaya başladık.

Bağımsız gözlemlerde örneklem ortalamasının beklenen değeri $\mu$, varyansı $\sigma^2/n$, standart hatası $\sigma/\sqrt{n}$ olur. Bu karekök ilişkisi yüzünden belirsizliği yarıya indirmek için yaklaşık dört kat veri gerekir. Merkezî limit teoremi uygun koşullarda ortalamaların dağılımını yaklaşık Normal kabul etmemizi sağlar; ham verinin biçimini veya gözlemler arasındaki bağımlılığı değiştirmez.

Güven aralığı, nokta tahmininin yanına örnekleme belirsizliğini ekledi. Yüzde 95 güven, belirli bir aralıktaki parametreye sonradan verilen olasılık değil, yöntemin uzun dönemli kapsama oranıdır. Dolum makinesinde $H_0$ ve $H_1$'i kurup test istatistiğini, p-değerini ve anlamlılık düzeyini kullandık. P-değeri hipotezin doğru olma olasılığını veya etkinin pratik önemini söylemez; farkın büyüklüğü, güven aralığı ve varsayımlar da karara girer.

Elimizde tek bir örneklem vardır, ama çıkarım yaparken aynı yöntemle seçilebilecek diğer örneklemleri de hesaba katarız. Standart hata sonuçların ne kadar yayılacağını, güven aralığı seçilen yöntem altında hangi parametre değerlerinin veriyle uyumlu olduğunu, hipotez testi ise $H_0$ altında gözlemimizin ne kadar olağandışı kaldığını gösterir. Bunları yorumlayabilmek için örneklemin, ölçümlerin ve sorunun uygun olması gerekir.

Çoğu gerçek problemde anakütle standart sapmasını bilmeyiz. Ayrıca bazen iki, bazen üç veya daha fazla grubun ortalamalarını karşılaştırırız. Sıradaki Yaygın İstatistiksel Testler: T-Testi ve ANOVA makalesinde Student'ın t dağılımından başlayıp tek örneklem, bağımsız gruplar ve eşleştirilmiş t-testlerini kuracağız. Ardından çok sayıda ortalamayı ANOVA'nın ortak değişkenlik hesabıyla karşılaştıracağız.

Yazar: Levent KARAGÖL

Karşılaştırma	İstatistiksel karar	Doğru yorum
\(p\le\alpha\)	\(H_0\) reddedilir.	Veri, seçilen eşikte \(H_0\)'a karşı kanıt sunar.
\(p>\alpha\)	\(H_0\) reddedilemez.	Mevcut veri, \(H_0\)'ı reddetmek için yeterli kanıt sunmaz.