22. Çıkarımsal İstatistik ve Hipotezler

18 Eylül 2026

28 dakika

15 görüntüleme

Çıkarımsal istatistik, elimizdeki sınırlı bir örneklemden daha geniş bir anakütle hakkında ölçülü sonuçlar çıkarmamızı sağlar. Yapay zekâda bir modelin yalnızca gördüğümüz test verisinde değil, henüz karşılaşmadığı verilerde de işe yarayıp yaramayacağını değerlendirmek için bu düşünceye ihtiyaç duyarız. Bu makalede örnekleme belirsizliğini adım adım kuracak; örnekleme dağılımı, standart hata, merkezî limit teoremi, nokta ve aralık tahmini, güven aralığı, sıfır ve alternatif hipotez, p-değeri, anlamlılık düzeyi, hata türleri, test gücü ve etki büyüklüğü kavramlarını günlük örnekler ve hesaplamalar üzerinden inceleyeceğiz.

Beş Gözlemden Daha Büyük Bir Dünyaya

Önceki Korelasyon ve Regresyon Analizi makalesinde beş öğrencinin çalışma süresi ile sınav puanı arasında güçlü, pozitif bir doğrusal ilişki bulmuştuk. Saçılım grafiğini incelemiş, korelasyonu hesaplamış ve en küçük kareler doğrusunun eğimini elde etmiştik. Bütün bu hesaplar elimizdeki beş öğrenciyi doğru biçimde betimliyordu.

Fakat asıl merak ettiğimiz şey yalnızca bu beş kişi olmayabilir. Aynı okulun bütün öğrencileri hakkında konuşmak istersek yeni bir soru ortaya çıkar: Gördüğümüz yüksek korelasyon ve pozitif eğim daha geniş öğrenci topluluğunda da var mı, yoksa seçtiğimiz beş kişiye özgü bir rastlantı mı?

Betimsel istatistik elimizdeki verinin ne söylediğini özetler. Çıkarımsal istatistik (inferential statistics) ise gözlediğimiz veriden, gözlemediğimiz daha geniş topluluk hakkında sonuç çıkarmaya çalışır. Bu geçiş ücretsiz değildir. Örneklem değişseydi hesabımız da biraz değişecekti; dolayısıyla vardığımız sonucun yanında bu örnekleme belirsizliğini de belirtmemiz gerekir.

Çıkarım, küçük bir tabloyu bütün dünyaya aynen kopyalamak değildir. Veri üretim sürecini, örneklemin nasıl seçildiğini ve sonucun örneklemden örnekleme ne kadar değişebileceğini birlikte hesaba katmaktır.

Anakütle, Örneklem, Parametre ve İstatistik

Bir şehrin bütün hanelerinin aylık elektrik tüketimini öğrenmek istediğimizi düşünelim. İncelemek istediğimiz hanelerin tamamına anakütle veya evren (population) deriz. Bu anakütleden gerçekten gözlediğimiz daha küçük gruba ise örneklem (sample) denir.

Anakütleye ait, çoğu zaman bilmediğimiz sayısal özelliğe parametre denir. Anakütlenin gerçek ortalamasını $\mu$, gerçek standart sapmasını $\sigma$ ile gösteririz. Örneklemden hesapladığımız sayısal özelliğe istatistik denir. Örneklem ortalaması $\bar{x}$, örneklem standart sapması $s$ buna örnektir.

Kavram	Anakütlede	Örneklemde
Ortalama	Parametre: $\mu$	İstatistik: $\bar{x}$
Standart sapma	Parametre: $\sigma$	İstatistik: $s$
Korelasyon	Parametre: $\rho$	İstatistik: $r$

İstatistik ile parametre aynı türden özelliği anlatabilir, fakat aynı şey değildir. $\bar{x}=312$ kWh bulmamız, anakütle ortalaması $\mu$'nün tam olarak 312 kWh olduğunu kanıtlamaz. $\bar{x}$, bilinmeyen $\mu$ için verinin sunduğu bir tahmindir. Başka haneler seçseydik 309 veya 317 gibi farklı bir örneklem ortalaması bulabilirdik.

Olabilirlik, Log-Olabilirlik ve Parametre Tahmini makalesinde MLE ve MAP yöntemleriyle veriden bir parametre tahmini seçmiştik. Şimdi bu tahminin örneklem değiştiğinde ne kadar oynayacağını ve bilinmeyen gerçek değerin çevresindeki belirsizliği ölçüyoruz. Başka bir ifadeyle MLE ve MAP gibi nokta tahminleri bize hangi değeri seçeceğimizi, çıkarımsal istatistik ise bu seçimin ne kadar kesin olduğunu değerlendirmemizi sağlar.

Anakütleyi baştan açıkça tanımlamak gerekir. “Şehirdeki haneler” derken bugün aktif aboneliği olan haneleri mi, bütün konutları mı, yazlıkları da mı kastediyoruz? Sonucu hangi topluluğa genellemek istiyorsak hedef anakütlemiz odur. Belirsiz bir hedef, kusursuz bir hesapla bile açık bir sonuca dönüşmez.

Temsil Gücü Sayıdan Önce Gelir: Örnekleme

Bin kişilik bir örneklem her zaman yüz kişilik bir örneklemden daha iyi değildir. Bin kişinin yalnızca gündüz saatlerinde bir alışveriş merkezinden seçildiğini düşünelim. Bu grup; gece çalışanları, evinden çıkamayanları veya o bölgede yaşamayanları yeterince temsil etmeyebilir. Çok sayıda gözlem, kötü seçim yönteminin oluşturduğu sistematik sapmayı ortadan kaldırmaz.

Basit rastgele örneklemede belirli büyüklükteki her olası örnekleme eşit seçilme şansı verilir; böylece anakütledeki her birim eşit seçilme olasılığı taşır. Uygulamada tabakalı, kümeli veya sistematik örnekleme gibi başka tasarımlar da kullanılabilir. Önemli olan, örneklemin hangi mekanizmayla oluştuğunu bilmek ve bu mekanizmayı hesaplamada hesaba katmaktır.

Üç farklı sorun birbirine karıştırılmamalıdır:

Örnekleme değişkenliği: İyi tasarlanmış rastgele örneklemler bile yalnızca şans nedeniyle birbirinden farklı sonuç verir.
Seçim yanlılığı: Bazı grupların örnekleme girme olasılığı sistematik olarak daha yüksek veya daha düşüktür.
Ölçüm yanlılığı: Soru biçimi, cihaz, etiketleme süreci veya kayıt sistemi değerleri sürekli aynı yönde saptırır.

Daha büyük örneklem ilk sorunu, yani rastgele dalgalanmayı azaltabilir. Fakat yalnızca internet kullananlara çevrim içi anket gönderilmişse internete erişmeyenleri büyüyen örnekleme eklemez. Benzer biçimde hatalı kalibre edilmiş bir tartı, daha çok ölçüm yaptıkça doğru hâle gelmez. Çıkarımın güvenilirliği, hesaplamadan önce veri toplama tasarımıyla başlar.

Bir İstatistik de Değişken Olabilir

Anakütleden rastgele 25 kişi seçip boy ortalamasını hesapladığımızı düşünelim. Sonra bu kişileri geri bırakıp yeni bir 25 kişi seçelim. İkinci örneklemin ortalaması büyük olasılıkla birincinin aynısı olmayacaktır. Bu işlemi binlerce kez tekrarlayabilseydik binlerce $\bar{x}$ değeri elde ederdik.

Belirli bir örneklem elimizdeyken $\bar{x}$ yalnızca bir sayıdır. Fakat örneklemi seçmeden önce hangi kişilerin geleceği rastgele olduğundan, $\bar{X}$ de bir rastgele değişken gibi davranır. Aynı büyüklükteki bütün olası örneklemlerden doğabilecek $\bar{X}$ değerlerinin dağılımına örnekleme dağılımı (sampling distribution) denir.

Bu dağılım, tek tek kişilerin boylarının dağılımı değildir. Birincisi bireysel değerleri, ikincisi örneklem ortalamalarını gösterir. İki dağılımın merkezleri aynı yerde olabilir; fakat örneklem ortalamaları tek tek kişilerden daha az dağılır. Çünkü bir kişideki sıra dışı yükseklik veya düşüklük, ortalama alınırken diğer kişilerle dengelenir.

Veri dağılımı ile bir istatistiğin örnekleme dağılımı farklıdır. Çıkarımsal istatistiğin güven aralıkları ve testleri çoğunlukla ikinci dağılıma dayanır.

Örneklem Ortalamasının Merkezi

Anakütleden seçilen her gözlemi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ ile gösterelim. Hepsinin beklenen değeri $\mu$ olsun. Örneklem ortalaması:

$$ \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} $$

Daha önce Beklenen Değer ve Varyans makalesinde beklenen değerin toplam boyunca dağıldığını görmüştük. Bu kuralı uygularsak:

$$ \begin{aligned} E[\bar{X}] &=E\left[\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\right] \\ &=\frac{E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]}{n} \\ &=\frac{n\mu}{n}=\mu \end{aligned} $$

Bu eşitlik, örneklem ortalamasının yansız bir tahmin edici olduğunu söyler. Buradaki anlam, tek bir örneklemin mutlaka doğru ortalamayı vereceği değildir. Aynı yöntemle çok sayıda örneklem alabilseydik, bunlardan elde edilen ortalamaların uzun dönemdeki merkezi gerçek $\mu$ olurdu.

Bir tahmin edici rastgele dalgalanırken sistematik olarak hedefin bir tarafında kalıyorsa yanlıdır (biased). Yansızlık değerli bir özelliktir; fakat tek başına yeterli değildir. Hedefin çevresinde çok geniş yayılan yansız bir tahmin edici, küçük ve bilinen bir yanlılığı olan fakat çok daha kararlı bir tahmin ediciden bazı problemlerde daha kötü olabilir.

Belirsizliğin Ölçüsü: Standart Hata

Şimdi örneklem ortalamalarının ne kadar yayıldığını bulalım. Gözlemlerin birbirinden bağımsız olduğunu ve her birinin varyansının $\sigma^2$ olduğunu varsayalım. Bağımsız değişkenlerin toplamında varyanslar toplandığı için:

$$ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\bar{X}) &=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) \\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i) \\ &=\frac{1}{n^2}\,n\sigma^2 =\frac{\sigma^2}{n} \end{aligned} $$

Varyansın karekökünü aldığımızda örneklem ortalamasının standart sapmasını elde ederiz:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Buna standart hata (standard error) denir. Anakütle standart sapması $\sigma$, tek tek gözlemlerin ne kadar değiştiğini anlatır. Standart hata ise örneklem ortalamamızın örneklemden örnekleme ne kadar değişeceğini anlatır. İkisi aynı birimi taşır, fakat farklı sorulara cevap verir.

Gerçek $\sigma$'yı çoğu zaman bilmeyiz. O zaman onu örneklem standart sapması $s$ ile tahmin ederiz:

$$ \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{n}} $$

Bu temel formül bağımsız seçimlere dayanır. $N$ birimlik sonlu bir anakütleden yerine koymadan basit rastgele örnekleme yapıyor ve anakütlenin kayda değer bir bölümünü seçiyorsak örneklemde kalan belirsizlik daha da azalır. Bu durumda standart hata sonlu anakütle düzeltmesi ile çarpılır:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X}) =\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} $$

Örneklem anakütleye göre çok küçükse düzeltme çarpanı 1'e yakındır ve temel formül yeterli olur. Anakütlenin tamamını gözlediğimiz $n=N$ durumunda çarpan sıfıra iner; artık örnekleme belirsizliği kalmaz.

Karekök kuralı önemli bir pratik sonuç taşır. Örneklem büyüklüğünü 4 katına çıkarırsak standart hata yarıya iner. Yalnızca 2 katına çıkarmak ise belirsizliği yarıya indirmez; $1/\sqrt{2}$, yani yaklaşık $0{,}707$ katına indirir. Daha fazla veri yararlıdır, fakat kazanç doğrusal değildir.

Ortalamaların Şekli: Merkezî Limit Teoremi

Anakütledeki değerlerin Normal dağılmadığını düşünelim. Teslimat süreleri sağa çarpık olabilir; çoğu paket zamanında gelirken az sayıdaki paket çok gecikebilir. Buna rağmen aynı dağılımdan gelen, birbirinden bağımsız ve sonlu varyansa sahip gözlemlerin yeterince büyük örneklemlerinden hesaplanan ortalamalar çoğu durumda yaklaşık Normal bir dağılım oluşturur. Bu sonuca merkezî limit teoremi (central limit theorem) denir.

Teoremin sağladığı yaklaşık standartlaştırma şöyledir:

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\approx N(0,1) $$

Payda, biraz önce türettiğimiz standart hatadır. Formül, örneklem ortalamasının gerçek ortalamadan kaç standart hata uzakta olduğunu söyler. Yaklaşık Normal biçim sayesinde daha önce öğrendiğimiz Normal dağılım olasılıklarını, anakütlenin kendisi Normal olmasa bile ortalamalar için kullanabiliriz.

Bu teorem hakkında üç dikkatli ayrım yapmalıyız:

Teorem, ham verinin örneklem büyüdükçe Normal dağılıma dönüştüğünü söylemez; örneklem ortalamasının dağılımı yaklaşık Normal olur.
“$n=30$ her zaman yeterlidir” biçiminde evrensel bir eşik yoktur. Güçlü çarpıklık, ağır kuyruklar ve aykırı değerler daha büyük örneklem gerektirebilir.
Bağımlı gözlemler özel dikkat ister. Aynı kullanıcının yüz işlemini yüz bağımsız kişi gibi saymak, etkili örneklem büyüklüğünü abartabilir.

Anakütle zaten Normal ise örneklem ortalaması her $n$ için Normaldir. Anakütle Normal değilse yaklaşımın kalitesi dağılımın biçimine, örneklem büyüklüğüne ve bağımlılık yapısına göre değişir. Teorem güçlüdür; varsayımları ortadan kaldıran bir sihir değildir.

Tahmin Edici Ne Kadar İyi? Yanlılık ve Değişkenlik

Bilinmeyen bir parametreyi hesaplamak için kullandığımız kurala tahmin edici (estimator), belirli veriyi bu kurala yerleştirince elde ettiğimiz sayıya tahmin (estimate) denir. “Örneklem ortalamasını kullan” bir tahmin edicidir; bu örneklemde bulunan 72 değeri bir tahmindir.

İyi bir tahmin edicide iki özelliği birlikte ararız. Birincisi, uzun dönemde hedefin yanlış tarafında kalmaması, yani küçük yanlılıktır. Tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre arasındaki farka yanlılık (bias) deriz:

$$ \operatorname{Bias}(\hat{\theta}) =E[\hat{\theta}]-\theta $$

Buradaki beklenen değer, aynı veri toplama sürecini çok sayıda kez tekrarlayabilseydik elde edeceğimiz tahminlerin merkezidir. Yanlılık sıfırsa tahmin edici uzun dönemde hedefin çevresinde merkezlenir; bu, tek bir tahminin hatasız olacağı anlamına gelmez.

İkinci özellik, örneklem değiştiğinde tahminin çok fazla savrulmaması, yani küçük varyanstır. Gerçek değer ile tahmin arasındaki karesel farkın uzun dönem ortalamasına ortalama karesel hata (mean squared error, MSE) denir:

$$ \operatorname{MSE}(\hat{\theta}) =E\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right] $$

Bu ölçünün neden iki hata kaynağına ayrıldığını görmek için tahminden önce tahmin edicinin merkezi olan $E[\hat{\theta}]$'yı çıkarıp sonra yeniden ekleyelim:

$$ \begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat{\theta}) &=E\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right] \\ &=E\left[\left((\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])+(E[\hat{\theta}]-\theta)\right)^2\right] \\ &=\operatorname{Var}(\hat{\theta}) +\left(E[\hat{\theta}]-\theta\right)^2 \\ &=\operatorname{Var}(\hat{\theta}) +\operatorname{Bias}(\hat{\theta})^2 \end{aligned} $$

Kare açıldığında oluşan çapraz terimin beklenen değeri sıfırdır; çünkü $\hat{\theta}-E[\hat{\theta}]$ sapmalarının merkezi tanım gereği sıfırdır. Geriye örneklemler arasındaki yayılımı anlatan varyans ile merkezdeki sistematik uzaklığın karesi kalır.

Buradaki $\theta$ bilinmeyen parametreyi, $\hat{\theta}$ ise onu tahmin eden rastgele niceliği gösterir. Şapka, “bu değer doğrudan gerçek parametre değil, veriden üretilen tahmindir” diye okunabilir. Eşitliğe göre bir tahmin edici hem sistematik olarak hedeften uzak kaldığı hem de örneklemden örnekleme çok değiştiği için yüksek hata üretebilir. Yanlılık sıfır olsa bile varyans büyükse MSE büyük kalır.

Makine öğrenmesindeki yanlılık–varyans dengesi de aynı temel düşüncenin daha geniş bir görünümüdür: Çok katı bir model düzenli biçimde eksik öğrenebilir; aşırı esnek bir model ise eğitim örneklemindeki rastlantılara fazla duyarlı olabilir.

Tek Sayı Yetmediğinde: Güven Aralığı

Örneklem ortalaması bize tek bir en iyi tahmin sunar. Fakat 72 saniye demek, tahminin 71,9 mu yoksa 65 mi olabileceğini göstermez. Belirsizliği görünür kılmak için nokta tahmininin çevresine bir aralık kurarız.

Örnekleme dağılımı yaklaşık Normal ve anakütle standart sapması biliniyorsa, anakütle ortalaması için $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki aralık şöyle yazılır:

$$ \bar{x}\;\pm\;z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Formül üç parçadan oluşur: merkezde nokta tahmini $\bar{x}$, belirsizliği ölçen standart hata ve aralığın ne kadar güvenli olmasını istediğimizi belirleyen kritik değer $z_{1-\alpha/2}$. Yüzde 95 güven düzeyinde $\alpha=0{,}05$ ve kritik değer yaklaşık $1{,}96$'dır:

$$ \text{yüzde 95 güven aralığı} =\bar{x}\pm1{,}96\times\operatorname{SE}(\bar{x}) $$

Artı-eksi işaretinden sonraki bölüme hata payı (margin of error) denir. Daha yüksek güven düzeyi daha büyük kritik değer ve daha geniş aralık getirir. Daha büyük örneklem ise standart hatayı küçülterek aralığı daraltır.

Bir Güven Aralığını Adım Adım Kuralım

Bir çağrı merkezinde rastgele seçilmiş 100 görüşmenin bekleme süresi ortalaması $\bar{x}=72$ saniye, örneklem standart sapması $s=10$ saniye olsun. Anakütle standart sapmasını bilmediğimiz için standart hatayı örneklemden tahmin edelim:

$$ \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{x}) =\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{10}{\sqrt{100}} =1\text{ saniye} $$

Örneklem büyük olduğu için Normal yaklaşımı kullanarak yaklaşık yüzde 95 güven aralığını hesaplayalım:

$$ \begin{aligned} 72\pm1{,}96\times1 &=72\pm1{,}96 \\ &=[70{,}04,\;73{,}96] \end{aligned} $$

Aynı standart sapmayla yalnızca 25 görüşme gözleseydik standart hata $10/\sqrt{25}=2$ saniye olurdu. Aynı örneklem ortalaması için aralık $[68{,}08,75{,}92]$ biçiminde iki kat genişlerdi. Veri azaldığında nokta tahmini aynı kalsa bile ona duyduğumuz kesinlik azalır.

Burada $\sigma$ yerine $s$ kullandık. Küçük örneklemlerde bu ek belirsizliği hesaba katmak için Normal dağılımın $z$ kritik değeri yerine Student'ın t dağılımı kullanılır. Bir sonraki makalede t-testini işlerken bu dağılımı ve serbestlik derecesini ayrıntılı biçimde kuracağız.

“Yüzde 95 Güven” Ne Demektir?

Güven düzeyinin yorumu yöntemin uzun dönemli başarısıyla ilgilidir. Aynı örnekleme ve aralık kurma sürecini çok sayıda kez tekrarlasaydık, yüzde 95 güven aralıklarının yaklaşık yüzde 95'i gerçek $\mu$'yü kapsardı.

Belirli bir örneklemden $[70{,}04,73{,}96]$ aralığını kurduktan sonra klasik, yani sıklıkçı yorumda “$\mu$'nün bu aralıkta olma olasılığı yüzde 95'tir” demeyiz. Parametre sabittir; değişen şey örneklem ve ondan doğan aralıktır. Bu aralık ya gerçek değeri kapsar ya da kapsamaz, fakat hangi durumda olduğumuzu bilmiyoruz.

Daha önceki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi makalesindeki Bayesçi yaklaşım, parametre için bir öncül dağılım belirleyip veri sonrasında doğrudan olasılık ifadesi kurabilir. Güven aralığı ile Bayesçi inanırlık aralığı bazen benzer sayılar üretse de dayandıkları soru ve yorum aynı değildir.

Yüzde 95 güven, gözlemlerin yüzde 95'inin aralıkta kalacağı veya gelecekteki tek bir değerin yüzde 95 olasılıkla burada bulunacağı anlamına gelmez. Ortalama parametresi için güven aralığı ile bireysel bir gelecek gözlemi için tahmin aralığı farklıdır.

İstenen Kesinlik İçin Kaç Gözlem?

Bir ortalama için hata payının en fazla $E$ olmasını istediğimizi düşünelim. Normal yaklaşımda hata payı:

$$ E=z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Bu eşitliği $n$ için çözersek yaklaşık örneklem büyüklüğünü buluruz:

$$ n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2 $$

Standart sapmanın yaklaşık 10 birim olduğunu bildiğimiz ve yüzde 95 güvenle hata payını 2 birimde tutmak istediğimiz bir durumda:

$$ n\approx\left(\frac{1{,}96\times10}{2}\right)^2 =96{,}04 $$

Gözlem sayısı kesirli olamayacağı ve hedef kesinliğin altına düşmemek gerektiği için yukarı yuvarlayıp en az 97 gözlem seçeriz. Hata payını 1 birime indirmek istersek sonuç yaklaşık 385 olur. Belirsizliği yarıya indirmek için yaklaşık dört kat veri gerektiren karekök kuralını yeniden görüyoruz.

Bu hesap; basit rastgele örnekleme, bağımsız gözlemler, ortalama tahmini ve makul bir $\sigma$ bilgisi gibi koşullara dayanır. Gerçek standart sapmayı henüz bilmiyorsak önceki benzer çalışmalardan, küçük bir pilot çalışmadan veya ihtiyatlı bir üst sınırdan yararlanırız. $\sigma$'yı gereğinden küçük tahmin etmek, gereken örneklem sayısını da gereğinden küçük gösterebilir.

Kayıp katılımcılar, kümeli tasarım, sonlu anakütle veya farklı bir istatistik için planlama değişebilir. Ayrıca araştırmanın ana hedefi bir hipotez testiyse örneklem büyüklüğünü yalnızca istenen hata payıyla değil, yakalamak istediğimiz en küçük anlamlı etki ve hedef test gücüyle planlarız. Örneklem büyüklüğü yalnızca formülden değil, veri toplama biçiminden ve cevaplamak istediğimiz sorudan doğar.

Formül Zor Olduğunda: Bootstrap Düşüncesi

Ortalamanın standart hatası için temiz bir formülümüz var. Ortanca, karmaşık bir oran veya bir model performans farkı için örnekleme dağılımını analitik olarak çıkarmak daha zor olabilir. Bootstrap, elimizdeki örneklemi geçici olarak anakütlenin küçük bir temsili kabul edip belirsizliği yeniden örnekleme yoluyla yaklaşıklar.

Elimizde $n$ gözlem varsa, bu gözlemlerden yerine koyarak yine $n$ gözlem seçeriz. Bu yüzden bazı kayıtlar birden fazla kez gelebilir, bazıları hiç gelmeyebilir.
İlgilendiğimiz istatistiği yeni örneklemde hesaplarız.
Bu işlemi yüzlerce veya binlerce kez tekrarlayıp istatistiklerin dağılımını inceleriz.
Dağılımın yayılımından standart hata ve uygun yöntemle güven aralığı tahmin ederiz.

Bootstrap güçlü bir genel araçtır, fakat veride olmayan temsil gücünü üretemez. Başlangıç örneklemi yanlıysa yeniden örneklenen kopyalar da bu yanlılığı taşır. Zaman serisi, aynı kişiden tekrarlı ölçüm veya kümeli veri varsa tek tek satırları bağımsızmış gibi yeniden seçmek bağımlılık yapısını bozabilir.

Yeniden örnekleme sayısını artırmak yalnızca elimizdeki bootstrap yaklaşımını daha kararlı hesaplar; küçük veya temsil gücü zayıf asıl örneklemi büyütmez. Çok küçük örneklemlerde, güçlü çarpıklıkta veya 0'a çok yakın bir oran gibi sınırda kalan parametrelerde bootstrap sonuçlarının alt ve üst yüzdeliklerini doğrudan kullanan basit aralıklar hedeflenen kapsama oranını vermeyebilir. Bu nedenle yeniden örnekleme bir düğmeye basıp bütün varsayımlardan kurtulma yöntemi değil, veri yapısına uygun tasarlanması gereken bir yaklaşımdır.

Bir İddiayı Sınamak: Hipotezler

Güven aralığı “seçtiğimiz model ve yöntem altında hangi parametre değerleri veriyle uyumludur?” sorusuna yaklaşır. Bazen daha keskin bir iddiayı değerlendirmek isteriz. Bir dolum makinesi paketleri ortalama 500 gram dolduruyor mu? Yeni bir modelin hata oranı eskisinden farklı mı? Bir regresyon eğimi anakütlede gerçekten sıfırdan farklı mı?

İstatistiksel hipotez, anakütle veya veri üretim süreci hakkında sınanabilir bir iddiadır. Hipotez testinde iki ifade kurarız:

Sıfır hipotezi $H_0$: Karşılaştırma için başlangıç kabulüdür; çoğu zaman “fark yok”, “etki yok” veya “parametre belirli bir değere eşit” biçimindedir.
Alternatif hipotez $H_1$ ya da $H_A$: Verinin destekleyip desteklemediğini araştırdığımız diğer olasılıktır.

Dolum makinesi örneğinde iki yönlü bir soru soralım:

$$ H_0:\mu=500 $$ $$ H_1:\mu\ne500 $$

İki yönlü alternatif, makinenin hem eksik hem fazla doldurmasını önemli sayar. Yalnızca eksik dolumla ilgilenseydik $H_1:\mu<500$ biçiminde tek yönlü bir hipotez kurabilirdik. Yön, veriyi gördükten sonra daha küçük p-değeri elde etmek için seçilmemelidir; araştırma sorusu ve kararın sonuçları düşünülerek önceden belirlenmelidir.

Hipotez Testinin Mantık Zinciri

Bir hipotez testi, karşıt iddiayı doğrudan kanıtlamaya çalışmaz. Önce $H_0$'ın doğru olduğunu varsayar ve şu soruyu sorar: “Bu varsayım altında, gözlediğimiz kadar veya daha uç bir sonuç ne kadar olağandışıdır?”

Araştırma sorusunu, $H_0$ ve $H_1$'i veri görülmeden önce açıklarız.
Yanlış alarm için kabul edeceğimiz üst sınırı, yani anlamlılık düzeyi $\alpha$'yı seçeriz.
Veriden, sıfır hipotezinden uzaklığı ölçen bir test istatistiği hesaplarız.
$H_0$ altında test istatistiğinin dağılımını belirleriz.
Gözlenen kadar veya daha uç sonuçların olasılığını, yani p-değerini buluruz.
p-değerini $\alpha$ ile karşılaştırır, kararı bağlam ve etki büyüklüğüyle birlikte yorumlarız.

“Daha uç” ifadesi alternatif hipoteze bağlıdır. İki yönlü testte hem çok büyük hem çok küçük değerler, tek yönlü testte ise yalnızca önceden belirlenen yöndeki değerler hesaba katılır. Testin matematiği, sorduğumuz sorunun biçimini izler.

Dolum Makinesi İçin Z-Testi

Dolum makinesinin uzun dönem standart sapmasının geçmiş kalibrasyonlardan $\sigma=12$ gram olarak bilindiğini düşünelim. Rastgele seçilen $n=36$ paketin ortalaması $\bar{x}=504$ gram olsun. Sıfır hipotezi altındaki ortalama 500 gramdır.

Bu z-testini kullanırken paketlerin bağımsız seçildiğini ve örneklem ortalamasının Normal dağılıma yeterince iyi yaklaştığını da varsayıyoruz. Anakütle standart sapması bilinmiyorsa, özellikle küçük örneklemde aynı hesabı doğrudan z dağılımıyla yapmak yerine bir sonraki makalede göreceğimiz t-testine geçeriz.

Önce standart hatayı hesaplarız:

$$ \operatorname{SE}(\bar{X}) =\frac{12}{\sqrt{36}} =2\text{ gram} $$

Gözlenen ortalama, sıfır hipotezindeki değerden 4 gram uzaktadır. Bu uzaklığın kaç standart hataya karşılık geldiğini $z$ test istatistiğiyle buluruz:

$$ z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{504-500}{12/\sqrt{36}} =\frac{4}{2}=2 $$

Buradaki $\mu_0=500$, sıfır hipotezinin ileri sürdüğü ortalamadır. $H_0$ doğruysa standartlaştırılmış ortalama yaklaşık standart Normal dağılım izler. İki yönlü testte $|Z|\ge2$ olasılığı yaklaşık $0{,}0455$'tir. Dolayısıyla p-değeri:

$$ p\approx0{,}0455 $$

Önceden $\alpha=0{,}05$ seçmişsek $p<\alpha$ olduğu için $H_0$'ı reddederiz. Veri, ortalamanın 500 gramdan farklı olduğuna dair yüzde 5 eşiğinde istatistiksel kanıt sunar. Ancak sonucun sınıra çok yakın olduğunu, etkinin yalnızca 4 gram olduğunu ve testin varsayımlarına dayandığını da raporlarız.

Aynı verinin yüzde 95 güven aralığı:

$$ 504\pm1{,}96\times2 =[500{,}08,\;507{,}92] $$

Aralık 500'ü çok küçük bir farkla dışarıda bırakır. İki yönlü yüzde 5 testin reddetmesiyle yüzde 95 güven aralığının sıfır hipotezindeki değeri dışlaması aynı yapının iki görünümüdür. Güven aralığı ayrıca etkinin makul büyüklüklerini gösterdiği için tek başına “reddet/reddetme” kararından daha fazla bilgi taşır.

P-Değeri Ne Söyler, Ne Söylemez?

P-değeri, sıfır hipotezi ve model varsayımları doğru kabul edildiğinde, gözlediğimiz test istatistiği kadar veya daha uç bir sonuç elde etme olasılığıdır. Dolum örneğinde p-değerinin yaklaşık $0{,}0455$ olması, $H_0$ doğruyken bu kadar uç veya daha uç bir örneklem sonucunun yaklaşık yüzde 4,55 olasılıkla görülebileceğini söyler.

Şunları söylemez:

“$H_0$'ın doğru olma olasılığı yüzde 4,55'tir” demez. P-değeri $P(\text{veri veya daha ucu}\mid H_0)$ ile ilgilidir; aradığımız $P(H_0\mid\text{veri})$ değildir.
“Sonucun yüzde 95 olasılıkla tekrar edeceğini” söylemez.
Etkinin büyük, önemli veya yararlı olduğunu göstermez.
Verinin rastlantı dışında hiçbir açıklaması olmadığını kanıtlamaz. Yanlı örnekleme, kötü ölçüm, yanlış model ve karıştırıcılar yine mümkündür.
$p>0{,}05$ olduğunda $H_0$'ın doğru olduğunu kanıtlamaz; veri yalnızca onu reddetmek için yeterli kanıt sunmamış olabilir.

P-değeri bir kanıt ölçüsünün tek parçasıdır. Örneklem tasarımı, etki büyüklüğü, güven aralığı, varsayımlar, daha önceki bilgiler ve kararın maliyetiyle birlikte okunmalıdır.

Anlamlılık Düzeyi Bir Karar Kuralıdır

Anlamlılık düzeyi $\alpha$, sıfır hipotezi doğru olduğu hâlde onu reddetme riskine koyduğumuz uzun dönemli üst sınırdır. Yaygın $0{,}05$ değeri doğanın değişmez yasası değildir. Tıbbi güvenlik, fabrika kalite kontrolü veya düşük riskli bir keşif çalışması farklı hata maliyetlerine sahip olabilir.

Karar dili dikkatli olmalıdır:

Karşılaştırma	İstatistiksel karar	Doğru yorum
$p\le\alpha$	$H_0$ reddedilir.	Veri, seçilen eşikte $H_0$'a karşı kanıt sunar.
$p>\alpha$	$H_0$ reddedilemez.	Mevcut veri, $H_0$'ı reddetmek için yeterli kanıt sunmaz.

“Reddedilemedi” ile “doğrulandı” aynı değildir. Küçük bir örneklemde gerçek ve önemli bir etki bulunmasına rağmen test bunu ayırt edecek kadar güçlü olmayabilir. Sessizlik, her zaman etkinin yokluğu değil; bazen ölçümün yetersizliğidir.

İki Tür Yanlış Karar ve Test Gücü

Hipotez testi belirsizlik altında karar verdiği için iki tür hata yapabilir. Gerçek durum ile kararımızı yan yana koyalım:

Gerçek durum	$H_0$ reddedilmez	$H_0$ reddedilir
$H_0$ doğru	Doğru karar	I. tür hata: yanlış alarm
$H_1$ doğru	II. tür hata: gerçek etkiyi kaçırma	Doğru karar

I. tür hata olasılığı $\alpha$ ile denetlenir. II. tür hata olasılığı genellikle $\beta$ ile gösterilir. Gerçekte belirli bir etki varken testi doğru biçimde reddetme olasılığına test gücü (power) denir:

$$ \text{güç}=1-\beta $$

Güç testin tek ve değişmez bir sayısı değildir; hangi gerçek etki büyüklüğünü yakalamaya çalıştığımıza bağlıdır. Örneğin aynı testin 1 gramlık sapmayı fark etme gücü düşük, 20 gramlık sapmayı fark etme gücü yüksek olabilir. Bu yüzden “testin gücü yüzde 80” derken hangi etki büyüklüğü, örneklem sayısı, gürültü düzeyi ve $\alpha$ için konuştuğumuzu belirtmeliyiz.

Güç; gerçek etkinin büyüklüğü arttıkça, ölçüm gürültüsü azaldıkça, örneklem büyüdükçe ve diğer koşullar aynıyken daha gevşek bir $\alpha$ seçildikçe yükselir. Fakat $\alpha$'yı büyütmek yanlış alarm riskini de artırır. Yangın alarmını çok hassas yapmak küçük dumanları yakalar, ama yanmış ekmeğe de daha sık ötebilir.

Bu nedenle örneklem büyüklüğü, veri toplanmadan önce hedeflenen en küçük anlamlı etki ve istenen güç düşünülerek planlanmalıdır. Sonuç anlamsız çıktıktan sonra “gücümüz kaçtı?” diye yalnızca p-değerine bakmak, kötü tasarımı geriye dönük olarak düzeltmez.

İstatistiksel Anlamlılık ile Pratik Önem

Çok büyük bir örneklem, önemsiz derecede küçük bir farkı bile istatistiksel olarak anlamlı gösterebilir. Bir internet hizmetinin ortalama yanıt süresini 200,00 milisaniyeden 199,95 milisaniyeye düşüren değişiklik, milyonlarca ölçümle çok küçük bir p-değeri üretebilir. Fakat kullanıcı bu 0,05 milisaniyelik farkı fark etmeyebilir ve değişikliğin maliyeti kazancından büyük olabilir.

Tersi de mümkündür. Küçük bir klinik çalışmada yaşam kalitesini belirgin artırabilecek bir etki görülür, fakat örneklem yetersiz olduğu için güven aralığı geniş ve p-değeri $0{,}05$'ten büyük kalabilir. Bu sonuç “etki yok” değil, “etkinin büyüklüğünü yeterli kesinlikle belirleyemedik” anlamına gelebilir.

Bu yüzden en az üç bilgiyi birlikte raporlarız:

Etki büyüklüğü: Farkın veya ilişkinin gerçek ölçekte ne kadar büyük olduğu.
Güven aralığı: Veri ve varsayımlarla uyumlu etki büyüklüklerinin aralığı.
P-değeri: $H_0$ altında gözlenen kadar uç bir sonucun ne kadar olağandışı olduğu.

“Anlamlı” sözcüğü istatistikte belirli bir eşik kuralını ifade eder; gündelik dildeki “önemli” veya “değerli” anlamını otomatik olarak taşımaz.

Çok Sayıda Soru Sorunca Rastlantı Birikir

Bir veri kümesinde 20 ilgisiz değişkeni ayrı ayrı yüzde 5 anlamlılık düzeyinde test ettiğimizi düşünelim. Testler bağımsız ve bütün sıfır hipotezleri doğru olsaydı hiçbir yanlış alarm vermeme olasılığı $0{,}95^{20}$ olurdu. En az bir yanlış alarm olasılığı ise:

$$ 1-0{,}95^{20}\approx0{,}642 $$

Bu, yaklaşık yüzde 64'lük bir olasılıktır. Gerçek çalışmalarda testler bağımsız olmayabilir; sayı yalnızca çoklu denemelerin tehlikesini görünür kılan bir örnektir. Yeterince çok ilişki ararsak bazıları sırf rastlantıyla küçük p-değeri üretir.

Araştırma sorusunu sonuçları gördükten sonra değiştirmek, yalnızca anlamlı çıkan grupları raporlamak, veri gelmeye devam ederken her gün test edip ilk küçük p-değerinde durmak veya aynı test kümesinden tekrar tekrar model seçmek yanlış alarm oranını büyütür. Bu davranışların bütünü bazen p-hackleme veya veri eşeleme olarak adlandırılır.

Çözümler araştırmanın yapısına göre değişir: Hipotezleri ve analiz planını önceden belirlemek, keşif ile doğrulamayı ayırmak, bağımsız doğrulama verisi kullanmak ve çoklu karşılaştırma düzeltmeleri uygulamak bunlardan bazılarıdır. “Bir kez daha denedim” ifadesi istatistiksel olarak ücretsiz değildir.

Geçerli Bir Çıkarımın Dayandığı Koşullar

Bir test veya güven aralığı yalnızca formülü kadar değil, varsayımları kadar doğrudur. İncelememiz gereken başlıca koşullar şunlardır:

Hedef ve örneklem: Örneklemin hangi anakütleyi temsil ettiği açık mı; kapsam dışı kalan gruplar var mı?
Rastgelelik ve bağımsızlık: Gözlemler gerçekten bağımsız mı, yoksa aynı kişi, sınıf, mağaza veya zaman dilimi içinde kümelenmiş mi?
Ölçüm kalitesi: Değişkenler doğru, tutarlı ve testten bağımsız biçimde ölçülmüş mü?
Dağılım veya büyük örneklem yaklaşımı: Seçilen testin Normal dağılım, eşit varyans veya başka biçim koşulları makul mü?
Eksik veriler: Kayıp gözlemlerin nedeni sonuçla ilişkili olabilir mi?
Analiz kararları: Hipotez, yön, durma kuralı ve dışlama ölçütleri veri görülmeden önce mi belirlendi?

Varsayım ihlali her zaman çalışmayı çöpe atmak anlamına gelmez. Bazen dönüşüm, dayanıklı bir yöntem, eşleştirilmiş analiz, kümeyi hesaba katan standart hata, permütasyon testi veya uygun bir örnekleme tasarımı kullanılabilir. Önemli olan ihlali gizlemek değil, hangi yorumun ondan etkilendiğini anlamaktır.

İstatistiksel çıkarım, nedenselliği de kendiliğinden sağlamaz. Rastgele örnekleme anakütleye genelleme gücünü; rastgele atama ise uygun deney tasarımında nedensel karşılaştırmayı destekler. İnsanları yalnızca gözleyip güçlü bir ilişki bulmak, karıştırıcı değişkenleri otomatik olarak ortadan kaldırmaz.

Korelasyon ve Regresyona Çıkarımsal Gözle Dönmek

Önceki makalede örneklem korelasyonu $r$ ve regresyon eğimi $b_1$ hesaplamıştık. Bunlar eldeki noktaları betimler. Anakütledeki karşılıkları $\rho$ ve gerçek eğim $\beta_1$ ise bilmediğimiz parametrelerdir. Çıkarımsal soru artık şöyle olur:

$b_1$'in çevresindeki güven aralığı ne kadar geniştir?
$H_0:\beta_1=0$ altında bu kadar büyük bir eğim ne kadar olağandışıdır?
Sonuç birkaç etkili gözleme, doğrusal olmayan yapıya veya değişen hata yayılımına mı bağlıdır?
Aynı ilişki yeni bir örneklemde de görülebilir mi?

Örneklemde yüksek bir $r$ görmek, anakütlede güçlü ilişki bulunduğunu tek başına kanıtlamaz. Örneklem çok küçükse tahmin kararsız olabilir. Tersine, büyük örneklemde küçük bir korelasyon istatistiksel olarak sıfırdan farklı çıkabilir fakat pratikte zayıf kalabilir. Grafik, etki büyüklüğü, güven aralığı ve veri üretim süreci yine birlikte okunmalıdır.

Ayrıca çıkarımsal anlamlılık “korelasyon nedenselliktir” sonucunu doğurmaz. Çok küçük bir p-değeri, gözlemsel ilişkinin karıştırıcı bir değişkenden kaynaklanmadığını göstermez. Test, seçtiğimiz istatistiksel modelin içindeki belirli bir sıfır hipotezini değerlendirir; çalışma tasarımının cevaplayamadığı soruları çözmez.

Yapay Zekâda Belirsizlikle Karar Vermek

Bir yapay zekâ modeli test kümesinde yüzde 91 doğruluk, diğeri yüzde 90 doğruluk elde ettiğinde yeni modelin gerçekten daha iyi olduğunu hemen söyleyebilir miyiz? Test kümesi olası gelecek verilerinin yalnızca bir örneklemidir. Başka örnekler seçseydik iki oran da değişebilirdi. Yüzde 1'lik farkın yanında bu farkın örnekleme belirsizliğini de ölçmemiz gerekir.

Aynı örnekler üzerinde iki model karşılaştırılıyorsa tahminler eşleşmiştir; her modeli bağımsız bir örneklem gibi ele almak verideki eşleşme bilgisini kaybeder. Kullanıcı başına çok sayıda kayıt varsa bağımsız birim satır değil kullanıcı olabilir. Zaman içinde veri dağılımı değişiyorsa geçmiş test kümesi gelecekteki anakütleyi temsil etmeyebilir. Doğru test, model adından önce deney birimini ve veri üretim sürecini anlamayı gerektirir.

Çıkarımsal istatistik yapay zekâ çalışmalarında birkaç somut görev üstlenir:

Model karşılaştırma: Gözlenen performans farkının örnekleme dalgalanmasıyla uyumlu olup olmadığını değerlendirir.
A/B deneyi: Yeni sıralama, öneri veya arayüzün kullanıcı davranışındaki etkisini güven aralığı ve testlerle inceler.
Alt grup değerlendirmesi: Model hatalarının farklı kullanıcı gruplarında ne kadar belirsizlik taşıdığını gösterir; küçük gruplarda geniş aralıklar görülebilir.
Veri kayması takibi: Girdi veya hata dağılımındaki değişimin olağan dalgalanmadan büyük olup olmadığını araştırır.
Deney tekrarlanabilirliği: Tek bir eğitim çalışmasının rastgele başlangıç, veri bölme veya örnek seçiminden ne kadar etkilendiğini görünür kılar.

Ancak aynı doğrulama kümesine tekrar tekrar bakıp yüzlerce model arasından en iyisini seçersek, bu küme artık tarafsız bir değerlendirme örneklemi olmaktan çıkar. Model kararlarımız onun rastlantılarına uyum sağlamaya başlar. Bağımsız bir son test kümesi veya doğru kurulmuş iç içe doğrulama, bu seçme yanlılığını sınırlamak için kullanılır.

Bir modelin verdiği yüzde 80 güven puanı ile bir araştırmanın yüzde 95 güven aralığı da aynı kavram değildir. İlki modelin belirli bir örnek için ürettiği bir skor veya kalibre edilmişse olasılık olabilir; ikincisi bir parametre tahmininin örnekleme belirsizliğini anlatır. Yüzde işareti iki sayıyı aynı anlama getirmez.

Model değerlendirmesinde “belirsizlik” de tek bir kaynaktan gelmez. Sabit bir modelin yeni test örneklerindeki başarısının değişmesi test örneklemesi belirsizliğidir; modeli farklı eğitim verisi veya rastgele başlangıçla yeniden eğittiğimizde sonucun değişmesi ise eğitim süreci değişkenliğidir. Yalnızca test satırlarını bootstrap ile yeniden seçmek ilkini yaklaşıklar, ikinciyi ölçmez. Hangi belirsizliği raporlamak istiyorsak deneyi o rastgelelik kaynağını tekrar edecek biçimde kurmalıyız.

Çıkarımsal İstatistikte Sık Yapılan Hatalar

Büyük örneklemi temsil gücü sanmak: Daha çok yanlı veri, yanlılığı ortadan kaldırmaz.
Standart sapma ile standart hatayı karıştırmak: İlki bireylerin, ikincisi tahminin örneklemler arasındaki değişkenliğidir.
Merkezî limit teoremini ham veriye uygulamak: Yaklaşık Normal olan çoğu durumda örneklem ortalamasının dağılımıdır.
Güven aralığını bireysel değer aralığı sanmak: Ortalama için güven aralığı, yeni bir kişinin değerini kapsamak için kurulmaz.
P-değerini hipotezin olasılığı sanmak: $P(\text{veri}\mid H_0)$ ile $P(H_0\mid\text{veri})$ aynı değildir.
$p>0{,}05$ ise “etki yok” demek: Testin gücü yetersiz veya aralık çok geniş olabilir.
$p<0{,}05$ ise etkiyi önemli sanmak: İstatistiksel anlamlılık, pratik önemi ölçmez.
Tek ve iki yönlü testi sonradan seçmek: Veri görüldükten sonra yön değiştirmek yanlış alarm oranını bozar.
Çoklu testleri yok saymak: Deneme sayısı arttıkça rastlantısal keşif olasılığı büyür.
Bağımlı gözlemleri bağımsız saymak: Aynı kişi veya kümeden gelen kayıtlar yapay biçimde dar güven aralıkları üretebilir.
İstatistiksel kanıtı nedensellik sanmak: Nedensel yorum için uygun deney veya güçlü bir nedensel tasarım gerekir.
Yalnızca eşiğin iki tarafına bakmak: $p=0{,}049$ ile $p=0{,}051$ bilimsel olarak birbirine çok yakındır; keskin etiketler belirsizliği gizleyebilir.

Bir Sonucu Okurken İzlenecek Yol

Hedef anakütleyi sorun. Sonuç tam olarak kimlere, hangi zamana ve hangi koşullara genelleniyor?
Örneklemin nasıl oluştuğunu inceleyin. Rastgele seçim, gönüllülük, eksik yanıt ve kapsam dışı gruplar neler?
Deney birimini belirleyin. Bağımsız bilgi satırdan mı, kişiden mi, kurumdan mı geliyor?
Nokta tahminine bakın. Gözlenen farkın, ortalamanın veya ilişkinin gerçek ölçekteki büyüklüğü nedir?
Belirsizliği okuyun. Standart hata ve güven aralığı ne kadar geniş; pratik açıdan önemli değerleri içeriyor mu?
Hipotezleri ve test yönünü kontrol edin. Bunlar veri görülmeden önce mi tanımlandı?
P-değerini doğru koşullu ifadeyle yorumlayın. Hipotezin doğru olma olasılığına dönüştürmeyin.
Varsayımları inceleyin. Bağımsızlık, dağılım, varyans, ölçüm ve eksik veri koşulları makul mü?
Çoklu denemeleri sayın. Raporlanan sonucun arkasında kaç farklı karşılaştırma yapıldı?
İstatistiksel ve pratik kararı ayırın. Etki gerçek olsa bile alınacak karara değecek kadar büyük mü?
Tekrarlanabilirliği arayın. Sonuç bağımsız veri, yeni dönem veya farklı örneklemde doğrulandı mı?

Sonuç: Örneklemden Anakütleye Ölçülü Bir Geçiş

Bu makalede betimlemekten çıkarım yapmaya geçtik. Anakütledeki bilinmeyen parametrelerle örneklemden hesaplanan istatistikleri ayırdık; iyi bir örneklemin yalnızca büyük değil, hedef anakütleyi temsil edecek bir süreçle seçilmiş olması gerektiğini gördük. Aynı büyüklükte farklı örneklemlerin farklı sonuçlar üreteceğini kabul ederek örnekleme dağılımını kurduk.

Örneklem ortalamasının beklenen değerinin $\mu$, varyansının bağımsızlık altında $\sigma^2/n$ olduğunu türettik. Böylece standart hatanın neden $\sigma/\sqrt{n}$ biçiminde küçüldüğünü ve daha kesin bir tahmin için neden hızla daha çok veriye ihtiyaç duyduğumuzu anladık. Merkezî limit teoremi, uygun koşullarda ortalamaların yaklaşık Normal dağılımını kullanmamıza izin verdi; fakat ham veriyi Normal yapmadığını ve bağımlılığı ortadan kaldırmadığını özellikle ayırdık.

Nokta tahminini güven aralığıyla tamamladık. Yüzde 95 güvenin belirli bir parametreye sonradan yüzde 95 olasılık vermediğini, kullanılan yöntemin uzun dönemli kapsama başarısını anlattığını gördük. Sonra $H_0$ ve $H_1$ hipotezlerini kurarak test istatistiği, p-değeri ve anlamlılık düzeyi arasındaki zinciri dolum makinesi örneğinde hesapladık. P-değerinin hipotezin olasılığı veya etkinin önemi olmadığını; kararın etki büyüklüğü, güven aralığı ve varsayımlarla birlikte okunması gerektiğini öğrendik.

En önemli zihinsel model şudur: Örneklemimiz tek ve somuttur, fakat çıkarımımız aynı yöntemle seçilebilecek görünmez örneklemlerin tamamını düşünür. Standart hata bu olası sonuçların yayılımını, güven aralığı seçilen model ve aralık kurma yöntemi altında veriyle uyumlu parametre değerlerini, hipotez testi ise belirli bir başlangıç iddiası altında gözlemimizin ne kadar olağandışı olduğunu anlatır. Hiçbiri kötü örneklemi, hatalı ölçümü veya yanlış soruyu iyi hâle getiremez.

Artık genel test mantığını biliyoruz; fakat gerçek problemlerde anakütle standart sapmasını çoğunlukla bilmiyor, bazen iki grubun ortalamasını, bazen de üç veya daha fazla grubun birlikte farkını inceliyoruz. Bir sonraki Yaygın İstatistiksel Testler: T-Testi ve ANOVA makalesinde Student'ın t dağılımından başlayacak; tek örneklem, bağımsız gruplar ve eşleştirilmiş t-testlerini kuracak, ardından çok sayıda ortalamayı tek tek test etmek yerine ANOVA ile ortak bir değişkenlik hesabında nasıl karşılaştırdığımızı göreceğiz.

Yazar: Levent KARAGÖL

Karşılaştırma	İstatistiksel karar	Doğru yorum
\(p\le\alpha\)	\(H_0\) reddedilir.	Veri, seçilen eşikte \(H_0\)'a karşı kanıt sunar.
\(p>\alpha\)	\(H_0\) reddedilemez.	Mevcut veri, \(H_0\)'ı reddetmek için yeterli kanıt sunmaz.