Olasılık, sonucu önceden kesin olarak bilemediğimiz durumlarda belirsizliği sayılarla anlatmamızı sağlar. Bir zarın hangi yüzünün geleceğinden yarın yağmur yağıp yağmayacağına, bir görüntünün hangi sınıfa ait olduğundan dil modelinin sıradaki kelime seçimine kadar pek çok problem olasılık düşüncesine dayanır. Bu makalede rastgele deney, sonuç, örnek uzay ve olay kavramlarını günlük örneklerle kuracak; tümleyen, birleşim ve kesişim işlemlerini, bağımlı ve bağımsız olayları, gözlenen sıklık ile teorik olasılık arasındaki farkı ve bütün bunların yapay zekâ açısından anlamını adım adım inceleyeceğiz.

Kesin Hesaplardan Belirsiz Sonuçlara

Şimdiye kadarki matematik yolculuğumuzda çoğunlukla sonucu kesin olan işlemlerle çalıştık. Örneğin \(f(x)=x^2\) fonksiyonuna \(x=3\) verirsek:

olacağını biliriz. Aynı işlem aynı girdiye yeniden uygulandığında yine 9 sonucunu verir. Önceki Zincir Kuralı makalesinde de birbirine bağlı işlemlerin etkisini kesin kurallarla hesaplamıştık.

Fakat gerçek dünyadaki her soru böyle değildir. Yarın yağmur yağıp yağmayacağını, bir müşterinin gördüğü ürünü satın alıp almayacağını veya atılan bir zarın hangi yüzünün geleceğini önceden kesin olarak bilemeyebiliriz. Yine de tamamen bilgisiz değiliz. Hava ölçümlerine, geçmiş müşteri davranışlarına veya zarın yapısına bakarak bazı sonuçların ne kadar mümkün olduğunu değerlendirebiliriz.

Olasılık burada devreye girer. “Kesin olarak ne olacak?” sorusuna cevap veremediğimizde, “Hangi sonuç ne kadar mümkün?” sorusunu sorarız.

Olasılık Sayısı Ne Söyler?

Bir olayın olasılığını \(P(A)\) ile gösteririz. Bu ifade “\(A\) olayının olasılığı” diye okunur. Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır:

Sayı 1'e yaklaştıkça olay daha mümkün, 0'a yaklaştıkça daha az mümkün kabul edilir. Olasılıkları yüzdeyle de yazabiliriz:

\(P(A)=0{,}80\) demek, \(A\)'nın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelmez. Yalnızca kullandığımız bilgi ve modele göre \(A\)'ya 0,80 olasılık verdiğimizi söyler. Düşük olasılıklı bir olay gerçekleşebilir; yüksek olasılıklı bir olay da gerçekleşmeyebilir.

Olasılığın neyi temsil ettiği duruma göre farklı biçimlerde düşünülebilir. Adil bir zarda simetriden yararlanırız. Çok sayıda tekrarlanabilen deneyde uzun dönemli gerçekleşme oranını düşünürüz. Yarın yağmur yağması gibi tek bir durumda ise mevcut verilerimiz ve modelimiz altında sahip olduğumuz belirsizliği ifade ederiz. Bu yorumların hepsinde aynı matematik kurallarını kullanırız.

Rastgele Deney Nedir?

Sonucu deney yapılmadan önce kesin olarak bilinmeyen, fakat hangi tür sonuçların ortaya çıkabileceği açıklanabilen sürece rastgele deney veya matematikte sık kullanılan adıyla rassal deney (random experiment) denir.

Bir madeni para atmak basit bir rastgele deneydir. Para havadayken hangi yüzün üste geleceğini bilmiyoruz; fakat beklediğimiz sonuç türlerini biliyoruz: Yazı veya Tura.

Altı yüzlü bir zar atmak, desteden kart çekmek, seçilen bir ampulün çalışma ömrünü ölçmek veya bir internet ziyaretçisinin alışveriş yapıp yapmadığını gözlemek de uygun biçimde tanımlandığında rastgele deney sayılabilir.

Deneyin açık tanımlanması önemlidir. “Zar atalım” dediğimizde tek zar mı, iki zar mı attığımızı; zarın kaç yüzlü olduğunu ve hileli olup olmadığını belirtmezsek olasılık hesabının zemini eksik kalır.

Deneyde Gerçekleşen Tek Durum: Sonuç

Bir rastgele deney yapıldığında gerçekten ortaya çıkan tek duruma sonuç (outcome) denir. Altı yüzlü bir zar attığımızda 4 gelirse bu deneyin sonucu 4'tür.

İki parayı sırayla attığımızda sonuç bir çift hâlinde yazılabilir. İlk para Yazı, ikinci para Tura gelmişse:

tek bir sonuçtur. Parantez içindeki sıra önemlidir: İlk konum birinci atışı, ikinci konum ikinci atışı gösterir. Bu nedenle \((\text{Yazı},\text{Tura})\) ile \((\text{Tura},\text{Yazı})\) aynı sonuç değildir.

Bütün Olası Sonuçların Haritası: Örnek Uzay

Bir deneyde ortaya çıkabilecek bütün sonuçların kümesine örnek uzay (sample space) denir. Genellikle büyük Yunan harfi omega, yani \(\Omega\), ile gösterilir.

Bir para atışında örnek uzay:

olur. Altı yüzlü bir zar için:

yazarız. İki para atışında ise dört olası sonuç vardır:

Örnek uzay yalnızca gerçekleşen sonucu değil, deneyden önce mümkün kabul ettiğimiz bütün sonuçları içerir. Deney yapıldığında bunlardan biri gerçekleşir.

Sonlu, Sayılabilir ve Sürekli Örnek Uzaylar

Zar ve para örneklerinde sonuçları tek tek sayabildiğimiz sonlu örnek uzaylar vardır. Zarın altı, iki para atışının dört sonucu bulunur.

Bazen sonuçların sayısı sonsuz olduğu hâlde onları sırayla listeleyebiliriz. Bir parayı ilk Yazı gelene kadar attığımızı düşünelim. Sonuç “Yazı kaçıncı atışta geldi?” olsun:

Bu örnek uzay sonsuzdur; yine de sonuçları 1, 2, 3 diye sıralayabiliriz. Buna sayılabilir sonsuz bir örnek uzay denir.

Bir sensörün tam sıcaklık ölçümü veya bir ampulün çalışma süresi gibi büyüklüklerde ise bir aralıktaki her gerçek sayı olası değer olabilir. Böyle örnek uzaylara sürekli deriz. Sürekli durumlarda sonuçları tek tek saymak yerine aralıkların olasılıklarını hesaplarız; bu hesaplarda İntegral yeniden karşımıza çıkar. Ayrıntıları Olasılık Dağılımları makalesine bırakacağız.

Örnek Uzayı Doğru Ayrıntı Düzeyinde Kurmak

Aynı gerçek durum, sorduğumuz soruya göre farklı ayrıntı düzeylerinde anlatılabilir. İki zar attığımızda yalnızca toplamla ilgileniyorsak sonuçları 2 ile 12 arasındaki sayılar gibi yazmak isteyebiliriz. Fakat zarların tek tek değerleri önemliyse \((1,6)\) ve \((6,1)\) ayrı sonuçlardır.

Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta vardır: Toplamların hepsi eşit olasılıklı değildir. Toplamın 2 olması yalnızca \((1,1)\) sonucuyla mümkündür. Toplamın 7 olması ise altı farklı sonuçla mümkündür:

Bu nedenle “2, 3, ..., 12 arasında 11 toplam var; her birinin olasılığı \(\frac{1}{11}\)'dir” demek yanlıştır. Örnek uzayın ayrıntı düzeyi ile sonuçlara verdiğimiz olasılıkların uyumlu olması gerekir.

Bu örnek, olasılık sorularında neden önce deneyi ve örnek uzayı açıkça tanımlamamız gerektiğini gösterir.

Sonuçları Bir Araya Getiren Olay

Bir olay (event), örnek uzayda ilgilendiğimiz bir veya daha fazla sonuçtan oluşan alt kümedir. Zar örneğinde çift sayı gelmesi olayına \(A\) diyelim:

Bu olay örnek uzayın içindeki bazı sonuçları içerdiği için:

yazarız. \(\subseteq\) işareti “alt kümesidir” diye okunur.

“Zarın 3 gelmesi” de bir olaydır:

Burada olay yalnızca bir sonuç içerir. Sonuç ile olay arasındaki ayrımı koruyalım: 3, deneyin tek bir sonucudur; \(\{3\}\) ise bu sonucu içeren olay kümesidir. Günlük konuşmada ikisini aynı sözlerle ifade etsek de matematiksel görevleri farklıdır.

Kesin Olay, İmkânsız Olay ve Önemli Bir İncelik

Örnek uzayın tamamı kesin olayı temsil eder. Altı yüzlü bir zarın 1 ile 6 arasında gelmesi kesindir:

Hiçbir sonuç içermeyen boş küme ise \(\varnothing\) ile gösterilir. Aynı zarın 8 gelmesi mümkün olmadığı için:

yazarız. Sonlu zar ve para örneklerinde 0'ı imkânsızlık, 1'i kesinlik olarak okumak güvenlidir.

İleride sürekli olasılık dağılımlarını öğrendiğimizde ince bir ayrıntıyla karşılaşacağız: Tek bir noktanın olasılığı 0 olduğu hâlde o değer sonuç olarak ortaya çıkabilir. Bu nedenle ileri düzey olasılıkta “olasılığı 0” her zaman mantıksal olarak “imkânsız”, “olasılığı 1” de her zaman mutlak anlamda “kesin” demek değildir. Şimdilik sonlu örnek uzaylarda çalıştığımız için temel yorumumuzu kullanabiliriz.

Eşit Olasılıklı Sonuçlarda Sayarak Hesaplamak

Sonlu bir örnek uzaydaki bütün sonuçlar eşit olasılıklıysa bir olayın olasılığını basitçe sayabiliriz:

Dikey çizgiler bir kümedeki eleman sayısını gösterir. Adil bir zarın çift gelmesi olayında \(A=\{2,4,6\}\) olduğuna göre \(|A|=3\), bütün sonuçların sayısı da \(|\Omega|=6\)'dır:

Yani çift sayı gelme olasılığı yüzde 50'dir.

Sonuçlar eşit olasılıklı değilse olayın içindeki sonuçların olasılıklarını toplarız. Örneğin hileli bir zarda:

olsun. Çift gelme olasılığı:

olur.

Olasılığın Üzerine Kurulduğu Üç Temel Kural

Olasılık hesaplarının temeli üç sade kurala dayanır:

1. Her olayın olasılığı sıfır veya daha büyüktür: \(P(A)\geq0\).
2. Bütün örnek uzayın olasılığı 1'dir: \(P(\Omega)=1\).
3. Birlikte gerçekleşemeyen olayların birleşim olasılığı, ayrı olasılıklarının toplamıdır.

Üçüncü kuralı \(A\) ile \(B\) ortak sonuç içermediğinde şöyle yazarız:

Aynı toplama düşüncesi, sonlu veya sayılabilir sayıda birbirini dışlayan olaya da genişler. Buradaki \(\cap\) ve \(\cup\) işaretlerini birazdan günlük “ve” ve “veya” ifadeleriyle birlikte ayrıntılı biçimde göreceğiz.

Bir Olayın Gerçekleşmemesi: Tümleyen

Bir olayın gerçekleşmediği bütün sonuçlar o olayın tümleyenini (complement) oluşturur. \(A\)'nın tümleyenini \(A^c\) ile gösterelim.

Zarın çift gelmesi:

ise çift gelmemesi, yani tek gelmesi:

olur. Bir olay ya gerçekleşir ya da gerçekleşmez. Bu iki seçenek birlikte bütün örnek uzayı oluşturduğu için:

ve buradan:

sonucuna ulaşırız. “En az bir kez” gibi hesaplaması zor olaylarda, önce “hiç gerçekleşmemesi” olasılığını bulup 1'den çıkarmak çoğu zaman işi kolaylaştırır.

Örneğin adil bir zarı iki kez attığımızda en az bir kez 6 gelme olasılığını bulalım. İki atışta da 6 gelmemesi olasılığı:

olduğundan en az bir kez 6 gelmesi:

olur. Bu hesapta atışların bağımsız olduğunu kullandık; bağımsızlığın neden çarpıma izin verdiğini birazdan açıklayacağız.

Birleşim: Matematikte “A veya B”

\(A\) veya \(B\) olaylarından en az birinin gerçekleşmesini birleşim ile gösteririz:

Bir zar için \(A=\{2,4,6\}\) çift sayı gelmesi, \(B=\{4,5,6\}\) ise 3'ten büyük sayı gelmesi olsun. Birleşim:

olur. 4 ve 6 her iki olayda da vardır ve birleşime yalnızca birer kez yazılır.

Günlük dilde “çay veya kahve” bazen ikisinden yalnızca birini seçmek anlamına gelebilir. Matematikteki “veya” ise kapsayıcıdır: \(A\), \(B\) ya da her ikisi gerçekleşebilir.

Kesişim: Matematikte “A ve B”

İki olayın aynı anda gerçekleştiği sonuçlara kesişim denir:

Yukarıdaki zar örneğinde hem çift hem de 3'ten büyük sonuçlar 4 ve 6'dır:

Adil zarda bu kesişimin olasılığı:

olur.

Birleşim Olasılığında Çifte Sayımı Düzeltmek

\(P(A)\) ile \(P(B)\)'yi doğrudan toplarsak iki olayın ortak sonuçlarını iki kez saymış oluruz. Bu nedenle ortak bölgeyi bir kez geri çıkarmamız gerekir:

Zar örneğimizde:

çıkar. \(A\)'yı sayarken 4 ve 6'yı bir kez, \(B\)'yi sayarken bir kez daha saydık. Kesişimi çıkarmak bu çift sayımı düzeltir.

Birlikte Gerçekleşemeyen Ayrık Olaylar

Aynı deneyde birlikte gerçekleşemeyen olaylara birbirini dışlayan (mutually exclusive) veya ayrık olaylar denir.

Tek bir zar atışında “zarın 2 gelmesi” ile “zarın 5 gelmesi” birlikte gerçekleşemez. Bu iki olayın ortak sonucu yoktur:

Dolayısıyla \(P(A\cap B)=0\)'dır ve birleşim formülü sadeleşir:

Adil bir zarda 2 veya 5 gelme olasılığı:

olur.

Bir Olay Diğerini Değiştirmiyorsa: Bağımsızlık

İki olaydan birinin gerçekleştiğini öğrenmek diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.

Adil bir parayı iki kez attığımızı düşünelim. İlk atışın Yazı gelmesi \(A\), ikinci atışın Yazı gelmesi \(B\) olsun. İlk atışta ne olduğunu görmek ikinci atışın fiziksel koşullarını değiştirmez:

İki atışın da Yazı gelmesi için önce ilk, sonra ikinci koşulun sağlanması gerekir. İlk koşul olası durumların yarısını bırakır; ikinci bağımsız koşul da kalanların yarısını bırakır:

Genel olarak \(A\) ile \(B\) bağımsızsa:

eşitliği sağlanır. Bu eşitlik yalnızca hesaplama kolaylığı sağlayan bir formül değildir; iki olayın bağımsız olup olmadığını sınamak için de kullanılabilir.

Bilgi Olasılığı Değiştiriyorsa: Bağımlı Olaylar

Bir olayın gerçekleştiğini öğrenmek diğer olayın olasılığını değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır.

Standart 52 kartlık bir destede 4 As bulunur. İlk çekilen kartın As olma olasılığı:

olsun. İlk kart As çıktıktan sonra onu desteye geri koymadan ikinci kartı çekersek destede 51 kart ve 3 As kalır. İkinci kartın As gelme olasılığı artık:

olur. İlk çekiş, ikinci çekişin koşullarını değiştirdiği için olaylar bağımlıdır.

İki kartın da As olma olasılığını hesaplarken değişen ikinci oranı kullanırız:

Buradaki çarpım bizi bir sonraki makalenin konusuna yaklaştırır. İkinci kesir, “ilk kartın As olduğunu biliyorken ikinci kartın As olma olasılığı”dır. Bu tür güncellenmiş olasılıkları koşullu olasılık ile ifade edeceğiz.

Kartı Geri Koymak Neyi Değiştirir?

İlk kartı gördükten sonra desteye geri koyup desteyi yeniden karıştırırsak ikinci çekişte yine 52 kart ve 4 As bulunur. İkinci kartın As olma olasılığı:

olarak kalır. İlk çekiş ikinci çekişin olasılığını değiştirmediği için, uygun karıştırma varsayımı altında iki çekiş bağımsızdır.

Aynı “iki kart çekme” ifadesi, kartın geri konup konmamasına göre iki farklı olasılık modeli oluşturur. Bağımlılık olayların adlarından değil, deneyin nasıl yapıldığından ve bir sonucun diğerinin olasılığını değiştirip değiştirmediğinden doğar.

Birbirini Dışlamak ile Bağımsızlık Neden Aynı Değildir?

Bu iki kavram olasılıkta en sık karıştırılan ayrımlardan biridir:

• Birbirini dışlayan olaylar aynı deneyde birlikte gerçekleşemez.
• Bağımsız olaylarda birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez.

Bir zarın 1 gelmesi \(A\), 2 gelmesi \(B\) olsun. Tek atışta ikisi birlikte gerçekleşemediği için olaylar ayrıdır:

Fakat bağımsız olsalardı:

olması gerekirdi. Gerçek kesişim olasılığı 0 olduğuna göre bu olaylar bağımsız değildir.

Sezgisel olarak da durum açıktır: Zarın 1 geldiğini öğrendiğimiz anda 2 gelmiş olma olasılığı sıfıra düşer. Bir olay diğerine ilişkin bilgimizi en güçlü biçimde değiştirmiştir.

Bağımsızlığı Matematikle Kontrol Edelim

Bir zarın çift gelmesi \(A=\{2,4,6\}\), 4'ten küçük gelmesi de \(B=\{1,2,3\}\) olsun. Her iki olayın olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir.

İki olayın kesişiminde yalnızca 2 vardır:

Bağımsızlık için bekleyeceğimiz çarpım ise:

olur. \(\frac{1}{6}\neq\frac{1}{4}\) olduğundan \(A\) ile \(B\) bağımsız değildir. Olayların adlarına bakarak kesin bir yargıya varmak yerine kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımını karşılaştırmak güvenilir bir yöntemdir.

Koşullu Olasılığa Kısa Bir Ön Bakış

“\(A\)'nın gerçekleştiğini biliyorsak \(B\)'nin olasılığı nedir?” sorusunu:

ile gösteririz. Bu ifade “\(A\) gerçekleşmişken \(B\)'nin olasılığı” diye okunur. Ortadaki dik çizgi “koşuluyla” anlamına gelir; bölme işlemi değildir.

\(P(A)>0\) olmak üzere olaylar bağımsızsa \(A\)'yı öğrenmek \(B\)'yi değiştirmez:

Bağımlı olaylarda ise bu iki değer farklıdır. Kartı geri koymadan çektiğimiz örnekte, ikinci kartın başlangıçtaki As olasılığı \(\frac{4}{52}\), ilk kartın As olduğunu öğrendikten sonraki olasılığı ise \(\frac{3}{51}\)'dir.

Koşullu olasılığın genel formülünü ve yeni bilgiyle olasılık güncellemenin güçlü yolu olan Bayes Teoremi'ni bir sonraki makalede ayrıntılı biçimde kuracağız.

Art Arda Bağımsız Denemeler ve Kumarbaz Yanılgısı

Adil bir parayı üç kez attığımızda üç atışın da Yazı gelme olasılığı:

olur. On atışın da Yazı gelmesi ise:

olasılığına sahiptir. Bu, onuncu atışa gelindiğinde Yazı olasılığının küçüldüğü anlamına gelmez. İlk dokuz atış Yazı gelmiş olsa bile adil paranın onuncu atışta Yazı gelme olasılığı hâlâ \(\frac{1}{2}\)'dir.

Geçmişte çok sayıda Yazı geldiği için “artık Tura gelmek zorunda” diye düşünmeye kumarbaz yanılgısı (gambler's fallacy) denir. Bağımsız bir deney geçmiş sonuçları hatırlamaz.

Başka bir incelik daha vardır. On atışlık yalnızca Yazı dizisinin olasılığı neyse, önceden belirlediğimiz Y-T-Y-Y-T-T-Y-T-Y-T gibi başka herhangi bir belirli dizinin olasılığı da aynıdır: \(\frac{1}{1024}\). İlk dizi bize daha düzenli göründüğü için daha şaşırtıcı gelebilir; fakat tek tek belirlenmiş diziler eşit olasılıklıdır. “Herhangi bir karışık dizi” gibi çok sayıda diziyi kapsayan bir olayla tek bir özel diziyi karşılaştırmamak gerekir.

Üç Olayda Bağımsızlığın İnceliği

İkiden fazla olay olduğunda yalnızca her ikiliyi kontrol etmek her zaman yeterli değildir. Bunu iki para atışıyla görebiliriz:

• \(A\): Birinci para Yazı gelsin.
• \(B\): İkinci para Yazı gelsin.
• \(C\): İki para aynı yüzü göstersin.

Her olayın olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Herhangi iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı da \(\frac{1}{4}\)'tür. Dolayısıyla olaylar ikişer ikişer bağımsız görünür.

Fakat üçü birden yalnızca \((\text{Y},\text{Y})\) sonucunda gerçekleşir:

Bu nedenle üç olay birlikte, yani karşılıklı olarak bağımsız değildir. Bu ileri ayrıntıyı her temel soruda kullanmayacağız; ancak “her çift bağımsızsa bütün olaylar bağımsızdır” sonucuna aceleyle varmamamız gerektiğini gösterir.

Olasılık ile Gözlenen Sıklık Aynı Şey midir?

Adil bir paranın Yazı gelme olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Fakat parayı on kez attığımızda mutlaka beş Yazı görmek zorunda değiliz. Yedi Yazı görürsek deneydeki Yazı oranı:

olur. Bu gözlem, paranın teorik Yazı olasılığını otomatik olarak 0,7 yapmaz. On deneme küçük bir örnektir ve rastgele dalgalanma içerebilir.

Deney sayısı çok arttığında gözlenen oranın gerçek olasılığa yaklaşmasını bekleriz. Bu düşünce Büyük Sayılar Yasası (Law of Large Numbers) ile açıklanır. “Yaklaşma”, her yeni atışta oranın düzenli biçimde düzeleceği anlamına gelmez; oran bir süre yukarı ve aşağı hareket edebilir. Söylediğimiz şey uzun dönemde büyük sapmaların genellikle azalmasıdır.

Bu ayrım veriyle çalışan yapay zekâ sistemleri için önemlidir. Az sayıdaki gözlem, gerçek davranış hakkında yanıltıcı bir tablo oluşturabilir. Daha fazla veri genellikle daha güvenilir tahminlere yardım eder; fakat verinin hatalı, taraflı veya temsil gücü düşük olması sorununu tek başına çözmez.

Olasılık Kesin Sonuç Değildir

Bir hava tahmini \(P(\text{Yağmur})=0{,}70\) diyorsa “kesinlikle yağmur yağacak” demiyordur. Tahminin kapsadığı yer, zaman aralığı, kullanılan veriler ve model altında yağmur olayına yüzde 70 olasılık verildiğini söyler.

Tek bir günün sonunda yalnızca yağmur yağmış veya yağmamış olabilir. Sonuç gerçekleşti diye yüzde 70 tahmini otomatik olarak doğru, gerçekleşmedi diye otomatik olarak yanlış sayamayız. Böyle tahminleri değerlendirmek için çok sayıda benzer duruma bakarız. Yüzde 70 denilen günlerin yaklaşık yüzde 70'inde yağmur yağıyorsa tahminler bu açıdan iyi ayarlanmış demektir.

Bu özellik olasılık kalibrasyonu olarak adlandırılır. Kalibrasyon, yapay zekâ modelinin ürettiği sayıların gerçek hayattaki gerçekleşme oranlarıyla ne kadar uyumlu olduğunu anlamamıza yardım eder.

İki Zar Örneğinde Kavramları Birleştirelim

İki adil ve birbirinden bağımsız zar atalım. Her zarın altı olası yüzü olduğundan sıralı sonuç sayısı:

olur. Toplamın 7 olması olayına \(A\) diyelim. Bu olayı sağlayan altı sonuç vardır:

Bu nedenle:

Birinci zarın çift gelmesi olayına \(B\) diyelim. Bunun olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Hem toplamın 7 hem de birinci zarın çift olması için üç sonuç uygundur:

Dolayısıyla:

Bağımsızlık kontrolü de aynı sonucu verir:

Demek ki “toplamın 7 olması” ile “birinci zarın çift olması” olayları bağımsızdır. İlk bakışta aralarında ilişki varmış gibi düşünebiliriz; matematiksel kontrol ise sezgimizi sınamamızı sağlar.

Yapay Zekâ Neden Olasılığa İhtiyaç Duyar?

Gerçek veriler çoğu zaman eksik, gürültülü veya birden fazla yoruma açıktır. Aynı belirti farklı hastalıklarda görülebilir; benzer pikseller farklı nesnelere ait olabilir; aynı cümle birçok kelimeyle devam edebilir. Bu nedenle yapay zekâ sistemleri yalnızca kesin eşleştirmeler değil, olası sonuçlar üzerinde dağılımlar da öğrenir.

Bir görüntü sınıflandırma modeli şu değerleri üretebilir:

Olasılıkların toplamı 1'dir:

Model daha sonra en yüksek değere sahip “Kedi” sınıfını seçebilir. Fakat dağılım, yalnızca seçilen etiketten daha fazla bilgi taşır. \(0{,}72\) ile \(0{,}71\) arasındaki yarış, \(0{,}99\) ile \(0{,}01\) arasındaki yarış kadar belirgin değildir.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar makalesinde gördüğümüz softmax, modelin ham çıktılarını toplamı 1 olan pozitif değerlere dönüştürebilir. Ancak toplamın 1 olması tek başına bu sayıların gerçek dünyadaki olasılıklarla iyi uyumlu olduğunu kanıtlamaz. Model yanlış verilerle eğitilmiş, kendinden fazla emin veya kalibrasyonu zayıf olabilir.

Dil Modellerinde Sıradaki Parçanın Olasılığı

Bir dil modeli, verilen metinden sonra gelebilecek kelime veya kelime parçalarına olasılıklar atar. “Bugün hava çok...” ifadesinden sonra örnek olarak şöyle bir dağılım oluşabilir:

Model seçeneklerden birini seçer, seçilen parça metne eklenir ve sonraki adım için yeni bir dağılım hesaplanır. Böylece metin adım adım oluşur.

Burada çok önemli bir ayrım vardır: Bir kelimenin model tarafından yüksek olasılıklı bulunması, kurulan cümlenin gerçekte doğru olduğu anlamına gelmez. Bu sayı öncelikle parçanın verilen bağlamdaki dilsel uygunluğunu yansıtır; dünyanın doğruluğunu ölçen doğrudan bir güven puanı değildir.

Dil modellerindeki ardışık yapı genellikle:

biçiminde gösterilir. Bu ifade, önceki parçalar biliniyorken sıradaki \(x_t\) parçasının olasılığıdır. Dikey çizginin anlamını Koşullu Olasılık makalesinde ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Bağımsızlık Varsayımı Neden Kullanılır?

Gerçek dünyadaki değişkenlerin çoğu bütünüyle bağımsız değildir. Bir cümledeki kelimeler birbirini etkiler, komşu pikseller genellikle benzer nesne parçalarını gösterir, hava sıcaklığı klima kullanımını değiştirebilir.

Buna rağmen bağımsızlık varsayımı hesapları büyük ölçüde kolaylaştırabilir. Bağımsız \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı:

biçiminde hesaplanabilir. \(\prod\) işareti, yanındaki olasılıkların sırayla çarpılması gerektiğini söyler.

İleride inceleyeceğimiz Naive Bayes modeli, bazı özelliklerin sınıf bilgisi verildiğinde birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Bu varsayım gerçek hayatta kusursuz olmayabilir; yine de hesaplamayı yönetilebilir hâle getirip bazı problemlerde yararlı sonuçlar verebilir.

Bir varsayımın kullanışlı olması, onun evrensel olarak doğru olduğu anlamına gelmez. Model kurarken bağımsızlığın veriye ve probleme ne ölçüde uyduğunu değerlendirmek gerekir.

Olasılık ile Nedensellik Aynı Şey Değildir

İki olayın birlikte daha sık görülmesi, birinin diğerine neden olduğunu tek başına kanıtlamaz. Yaz aylarında hem dondurma satışları hem de güneş yanığı vakaları artabilir. Bundan “dondurma yemek güneş yanığına yol açar” sonucu çıkmaz. Her ikisini de etkileyen üçüncü etken sıcak ve güneşli hava olabilir.

Olasılık bize olayların birlikte nasıl davrandığını anlatabilir; neden öyle davrandıklarını belirlemek için deney tasarımı, alan bilgisi ve nedensel düşünme gibi ek araçlara ihtiyaç duyarız. Bu ayrım ileride korelasyon ve regresyon konularında yeniden karşımıza çıkacak.

Temel Olasılıkta Sık Yapılan Hatalar

• Sonuç ile olayı karıştırmak: 3 bir sonuç, \(\{3\}\) ise bu sonucu içeren olaydır.
• Her sonucu eşit olasılıklı sanmak: İki zarın toplamları veya hileli bir zarın yüzleri eşit olasılıklı değildir.
• “Veya”yı yalnızca bir seçenek sanmak: Matematikte \(A\cup B\), \(A\), \(B\) veya her ikisinin gerçekleşmesini kapsar.
• Birleşimde ortak bölgeyi iki kez saymak: Genel formülde \(P(A\cap B)\) bir kez çıkarılmalıdır.
• Ayrık olaylarla bağımsız olayları aynı sanmak: Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez; bağımsız olaylar birbirlerinin olasılığını değiştirmez.
• Bağımsızlığı yalnızca sezgiyle ilan etmek: Gerektiğinde \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) eşitliğini kontrol etmeliyiz.
• Kartın geri konup konmadığını atlamak: Deneyin bu ayrıntısı çekişlerin bağımlı veya bağımsız olmasını değiştirebilir.
• Geçmiş bağımsız denemelerin geleceği dengelemek zorunda olduğunu düşünmek: Adil para önceki atışları hatırlamaz.
• Gözlenen sıklığı gerçek olasılıkla özdeşleştirmek: Küçük örneklerdeki oranlar rastgele dalgalanabilir.
• Model çıktısını otomatik olarak güvenilir olasılık saymak: Toplamı 1 olan değerlerin gerçek oranlarla uyumu ayrıca kalibrasyonla incelenmelidir.

Bir Olasılık Sorununda İzlenecek Yol

1. Rastgele deneyi açıkça tanımla.
2. Bütün olası sonuçları ve gerekli ayrıntı düzeyini belirle.
3. Örnek uzayı \(\Omega\) ile göster.
4. İlgilendiğin olayları sonuç kümeleri olarak yaz.
5. Sonuçların gerçekten eşit olasılıklı olup olmadığını kontrol et.
6. Sorudaki “ve”, “veya”, “değil” ve “en az bir” ifadelerini kesişim, birleşim veya tümleyene çevir.
7. Olayların ayrık, bağımsız ya da bağımlı olmasını deneyin yapısına göre değerlendir.
8. Bulduğun sonucun 0 ile 1 arasında olduğunu ve ilgili olasılıkların toplamının gerektiğinde 1 ettiğini denetle.
9. Sonucu bağlam içinde yorumla; olasılığı kesin sonuç veya nedensellik iddiasına dönüştürme.

Bu sıra, sembolleri ezbere kullanmak yerine sorunun yapısını görmemizi sağlar. Çoğu olasılık hatası hesap makinesinde değil, deney veya olay yanlış tanımlandığında başlar.

Sonuç: Belirsizliği Düzenlemenin Dili

Bu makalede kesin hesaplardan belirsiz sonuçlara geçtik. Rastgele deneyin ne olduğunu, gerçekleşen tek durum ile bütün olası sonuçların nasıl ayrıldığını ve örnek uzayın içindeki sonuçlardan olayları nasıl oluşturduğumuzu gördük.

Tümleyen “olmama”, birleşim “en az biri”, kesişim ise “birlikte olma” düşüncesini matematiksel hâle getirdi. Birbirini dışlayan olayların birlikte gerçekleşemediğini; bağımsız olaylarda ise bir olay hakkındaki bilginin diğerinin olasılığını değiştirmediğini öğrendik. Kart ve para örnekleriyle bağımlılığın deneyin ayrıntılarından nasıl doğduğunu inceledik.

Yapay zekâ açısından olasılık, modelin birden fazla mümkün sonuç üzerindeki belirsizliğini ifade etmesini sağlar. Bununla birlikte bir modelin ürettiği sayıyı yorumlarken kalibrasyonu, veriyi ve sayının gerçekte neyi ölçtüğünü sorgulamamız gerektiğini de gördük.

Şimdi sıradaki doğal soruya hazırız: Yeni bir bilgi öğrendiğimizde olasılıklarımızı nasıl güncelleriz? Bir sonraki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi makalesinde önce \(P(B\mid A)\) ifadesini ayrıntılı biçimde kuracak, ardından gözlemden geriye doğru akıl yürütmenin en güçlü araçlarından biri olan Bayes Teoremi'ne ulaşacağız.

Yazar: Levent KARAGÖL