Bir zarın hangi yüzünün geleceğini ya da yarın yağmur yağıp yağmayacağını önceden kesin olarak bilemeyiz. Bir görüntünün hangi sınıfa ait olduğunu tahmin ederken ve dil modelinin sıradaki kelimeyi nasıl seçeceğini incelerken de belirsizlikle karşılaşırız. Olasılık, bu belirsizliği sayılarla anlatmamızı sağlar. Bu makalede rastgele deney, sonuç, örnek uzay ve olay kavramlarını günlük örneklerle kuracağız. Ardından tümleyen, birleşim ve kesişim işlemlerini, bağımlı ve bağımsız olayları inceleyeceğiz. Gözlenen sıklık ile teorik olasılık arasındaki farkı görüp bütün bunların yapay zekâ açısından ne anlama geldiğini adım adım ele alacağız.

Kesin Hesaplardan Belirsiz Sonuçlara

Şimdiye kadarki matematik yolculuğumuzda çoğunlukla sonucu kesin olan işlemlerle çalıştık. Örneğin \(f(x)=x^2\) fonksiyonuna \(x=3\) verirsek:

olacağını biliriz. Aynı işlem aynı girdiye yeniden uygulandığında yine 9 sonucunu verir. Zincir Kuralı makalesinde de birbirine bağlı işlemlerin etkisini kesin kurallarla hesaplamıştık.

Yarın yağmur yağıp yağmayacağını, bir müşterinin ürünü satın alıp almayacağını veya zarın hangi yüzünün geleceğini önceden kesin bilemeyiz. Hava ölçümleri, geçmiş müşteri davranışları ve zarın yapısı ise sonuçların ne kadar mümkün olduğunu değerlendirmemize yardım eder.

Olasılık, her sonucun gerçekleşmesini ne kadar mümkün gördüğümüzü sayıyla gösterir.

Olasılık Sayısı Ne Söyler?

Bir olayın olasılığını \(P(A)\) ile gösteririz. Bu ifade “\(A\) olayının olasılığı” diye okunur. Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır:

Sayı 1'e yaklaştıkça olay daha mümkün, 0'a yaklaştıkça daha az mümkün kabul edilir. Olasılıkları yüzdeyle de yazabiliriz:

\(P(A)=0{,}80\) demek, \(A\)'nın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelmez. Yalnızca kullandığımız bilgi ve modele göre \(A\)'ya 0,80 olasılık verdiğimizi söyler. Düşük olasılıklı bir olay gerçekleşebilir; yüksek olasılıklı bir olay da gerçekleşmeyebilir.

Olasılığın neyi temsil ettiği duruma göre farklı biçimlerde düşünülebilir. Adil bir zarda simetriden yararlanırız. Çok sayıda tekrarlanabilen deneyde uzun dönemli gerçekleşme oranını düşünürüz. Yarın yağmur yağması gibi tek bir durumda ise mevcut verilerimiz ve modelimiz altında sahip olduğumuz belirsizliği ifade ederiz. Bu yorumların hepsinde aynı matematik kurallarını kullanırız.

Rastgele Deney Nedir?

Sonucu deney yapılmadan önce kesin olarak bilinmeyen, fakat hangi tür sonuçların ortaya çıkabileceği açıklanabilen sürece rastgele deney veya matematikte sık kullanılan adıyla rassal deney (random experiment) denir.

Bir madeni para atmak basit bir rastgele deneydir. Para havadayken hangi yüzün üste geleceğini bilmiyoruz; fakat beklediğimiz sonuç türlerini biliyoruz: Yazı veya Tura.

Altı yüzlü bir zar atmak, desteden kart çekmek, seçilen bir ampulün çalışma ömrünü ölçmek veya bir internet ziyaretçisinin alışveriş yapıp yapmadığını gözlemek de uygun biçimde tanımlandığında rastgele deney sayılabilir.

Deneyin açık tanımlanması önemlidir. “Zar atalım” dediğimizde tek zar mı, iki zar mı attığımızı; zarın kaç yüzlü olduğunu ve hileli olup olmadığını belirtmezsek olasılık hesabının zemini eksik kalır.

Deneyde Gerçekleşen Tek Durum: Sonuç

Bir rastgele deney yapıldığında gerçekten ortaya çıkan tek duruma sonuç (outcome) denir. Altı yüzlü bir zar attığımızda 4 gelirse bu deneyin sonucu 4'tür.

İki parayı sırayla attığımızda sonuç bir çift hâlinde yazılabilir. İlk para Yazı, ikinci para Tura gelmişse:

tek bir sonuçtur. Parantez içindeki sıra önemlidir: İlk konum birinci atışı, ikinci konum ikinci atışı gösterir. Bu nedenle \((\text{Yazı},\text{Tura})\) ile \((\text{Tura},\text{Yazı})\) aynı sonuç değildir.

Bütün Olası Sonuçların Haritası: Örnek Uzay

Bir deneyde ortaya çıkabilecek bütün sonuçların kümesine örnek uzay (sample space) denir. Genellikle büyük Yunan harfi omega, yani \(\Omega\), ile gösterilir.

Bir para atışında örnek uzay:

olur. Altı yüzlü bir zar için:

yazarız. İki para atışında ise dört olası sonuç vardır:

Örnek uzay yalnızca gerçekleşen sonucu değil, deneyden önce mümkün kabul ettiğimiz bütün sonuçları içerir. Deney yapıldığında bunlardan biri gerçekleşir.

Sonlu, Sayılabilir ve Sürekli Örnek Uzaylar

Zar ve para örneklerinde sonuçları tek tek sayabildiğimiz sonlu örnek uzaylar vardır. Zarın altı, iki para atışının dört sonucu bulunur.

Bazen sonuçların sayısı sonsuz olduğu hâlde onları sırayla listeleyebiliriz. Bir parayı ilk Yazı gelene kadar attığımızı düşünelim. Sonuç “Yazı kaçıncı atışta geldi?” olsun:

Bu örnek uzay sonsuzdur; yine de sonuçları 1, 2, 3 diye sıralayabiliriz. Buna sayılabilir sonsuz bir örnek uzay denir.

Bir sensörün tam sıcaklık ölçümü veya bir ampulün çalışma süresi gibi büyüklüklerde ise bir aralıktaki her gerçek sayı olası değer olabilir. Böyle örnek uzaylara sürekli deriz. Sürekli durumlarda sonuçları tek tek saymak yerine aralıkların olasılıklarını hesaplarız; bu hesaplarda İntegral yeniden karşımıza çıkar. Ayrıntıları Olasılık Dağılımları makalesine bırakacağız.

Örnek Uzayı Doğru Ayrıntı Düzeyinde Kurmak

Aynı gerçek durum, sorduğumuz soruya göre farklı ayrıntı düzeylerinde anlatılabilir. İki zar attığımızda yalnızca toplamla ilgileniyorsak sonuçları 2 ile 12 arasındaki sayılar gibi yazmak isteyebiliriz. Fakat zarların tek tek değerleri önemliyse \((1,6)\) ve \((6,1)\) ayrı sonuçlardır.

Zarların toplamları eşit olasılıklı değildir. Toplamın 2 olması yalnızca \((1,1)\) sonucuyla mümkündür; toplamın 7 olması ise altı farklı yolla gerçekleşir:

Bu nedenle “2, 3, ..., 12 arasında 11 toplam var; her birinin olasılığı \(\frac{1}{11}\)'dir” demek yanlıştır. Örnek uzayın ayrıntı düzeyi ile sonuçlara verdiğimiz olasılıkların uyumlu olması gerekir.

Sonuçları Bir Araya Getiren Olay

Bir olay (event), örnek uzayda ilgilendiğimiz bir veya daha fazla sonuçtan oluşan alt kümedir. Zar örneğinde çift sayı gelmesi olayına \(A\) diyelim:

Bu olay örnek uzayın içindeki bazı sonuçları içerdiği için:

yazarız. \(\subseteq\) işareti “alt kümesidir” diye okunur.

“Zarın 3 gelmesi” de bir olaydır:

Burada olay yalnızca bir sonuç içerir. Sonuç ile olay arasındaki ayrımı koruyalım: 3, deneyin tek bir sonucudur; \(\{3\}\) ise bu sonucu içeren olay kümesidir. Günlük konuşmada ikisini aynı sözlerle ifade etsek de matematiksel görevleri farklıdır.

Kesin Olay, İmkânsız Olay ve Önemli Bir İncelik

Örnek uzayın tamamı kesin olayı temsil eder. Altı yüzlü bir zarın 1 ile 6 arasında gelmesi kesindir:

Hiçbir sonuç içermeyen boş küme ise \(\varnothing\) ile gösterilir. Aynı zarın 8 gelmesi mümkün olmadığı için:

yazarız. Sonlu zar ve para örneklerinde 0'ı imkânsızlık, 1'i kesinlik olarak okumak güvenlidir.

İleride sürekli olasılık dağılımlarını öğrendiğimizde ince bir ayrıntıyla karşılaşacağız: Tek bir noktanın olasılığı 0 olduğu hâlde o değer sonuç olarak ortaya çıkabilir. Bu nedenle ileri düzey olasılıkta “olasılığı 0” her zaman mantıksal olarak “imkânsız”, “olasılığı 1” de her zaman mutlak anlamda “kesin” demek değildir. Şimdilik sonlu örnek uzaylarda çalıştığımız için temel yorumumuzu kullanabiliriz.

Eşit Olasılıklı Sonuçlarda Sayarak Hesaplamak

Sonlu bir örnek uzaydaki bütün sonuçlar eşit olasılıklıysa bir olayın olasılığını basitçe sayabiliriz:

Dikey çizgiler bir kümedeki eleman sayısını gösterir. Adil bir zarın çift gelmesi olayında \(A=\{2,4,6\}\) olduğuna göre \(|A|=3\), bütün sonuçların sayısı da \(|\Omega|=6\)'dır:

Yani çift sayı gelme olasılığı yüzde 50'dir.

Sonuçlar eşit olasılıklı değilse olayın içindeki sonuçların olasılıklarını toplarız. Örneğin hileli bir zarda:

olsun. Çift gelme olasılığı:

olur.

Olasılığın Üzerine Kurulduğu Üç Temel Kural

Olasılık hesaplarının temeli üç sade kurala dayanır:

1. Her olayın olasılığı sıfır veya daha büyüktür: \(P(A)\geq0\).
2. Bütün örnek uzayın olasılığı 1'dir: \(P(\Omega)=1\).
3. Birlikte gerçekleşemeyen olayların birleşim olasılığı, ayrı olasılıklarının toplamıdır.

Üçüncü kuralı \(A\) ile \(B\) ortak sonuç içermediğinde şöyle yazarız:

Aynı toplama düşüncesi, sonlu veya sayılabilir sayıda birbirini dışlayan olaya da genişler. Buradaki \(\cap\) ve \(\cup\) işaretlerini birazdan günlük “ve” ve “veya” ifadeleriyle birlikte ayrıntılı biçimde göreceğiz.

Bir Olayın Gerçekleşmemesi: Tümleyen

Bir olayın gerçekleşmediği bütün sonuçlar o olayın tümleyenini (complement) oluşturur. \(A\)'nın tümleyenini \(A^c\) ile gösterelim.

Zarın çift gelmesi:

ise çift gelmemesi, yani tek gelmesi:

olur. Bir olay ya gerçekleşir ya da gerçekleşmez. Bu iki seçenek birlikte bütün örnek uzayı oluşturduğu için:

ve buradan:

sonucuna ulaşırız. “En az bir kez” gibi hesaplaması zor olaylarda, önce “hiç gerçekleşmemesi” olasılığını bulup 1'den çıkarmak çoğu zaman işi kolaylaştırır.

Örneğin adil bir zarı iki kez attığımızda en az bir kez 6 gelme olasılığını bulalım. İki atışta da 6 gelmemesi olasılığı:

olduğundan en az bir kez 6 gelmesi:

olur. Bu hesapta atışların bağımsız olduğunu kullandık; bağımsızlığın neden çarpıma izin verdiğini birazdan açıklayacağız.

Birleşim: Matematikte “A veya B”

\(A\) veya \(B\) olaylarından en az birinin gerçekleşmesini birleşim ile gösteririz:

Bir zar için \(A=\{2,4,6\}\) çift sayı gelmesi, \(B=\{4,5,6\}\) ise 3'ten büyük sayı gelmesi olsun. Birleşim:

olur. 4 ve 6 her iki olayda da vardır ve birleşime yalnızca birer kez yazılır.

Günlük dilde “çay veya kahve” bazen ikisinden yalnızca birini seçmek anlamına gelebilir. Matematikteki “veya” ise kapsayıcıdır: \(A\), \(B\) ya da her ikisi gerçekleşebilir.

Kesişim: Matematikte “A ve B”

İki olayın aynı anda gerçekleştiği sonuçlara kesişim denir:

Yukarıdaki zar örneğinde hem çift hem de 3'ten büyük sonuçlar 4 ve 6'dır:

Adil zarda bu kesişimin olasılığı:

olur.

Birleşim Olasılığında Çifte Sayımı Düzeltmek

\(P(A)\) ile \(P(B)\)'yi doğrudan toplarsak iki olayın ortak sonuçlarını iki kez saymış oluruz. Bu nedenle ortak bölgeyi bir kez geri çıkarmamız gerekir:

Zar örneğimizde:

çıkar. \(A\)'yı sayarken 4 ve 6'yı bir kez, \(B\)'yi sayarken bir kez daha saydık. Kesişimi çıkarmak bu çift sayımı düzeltir.

Birlikte Gerçekleşemeyen Ayrık Olaylar

Aynı deneyde birlikte gerçekleşemeyen olaylara birbirini dışlayan (mutually exclusive) veya ayrık olaylar denir.

Tek bir zar atışında “zarın 2 gelmesi” ile “zarın 5 gelmesi” birlikte gerçekleşemez. Bu iki olayın ortak sonucu yoktur:

Dolayısıyla \(P(A\cap B)=0\)'dır ve birleşim formülü sadeleşir:

Adil bir zarda 2 veya 5 gelme olasılığı:

olur.

Bir Olay Diğerini Değiştirmiyorsa: Bağımsızlık

İki olaydan birinin gerçekleştiğini öğrenmek diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.

Adil bir parayı iki kez attığımızı düşünelim. İlk atışın Yazı gelmesi \(A\), ikinci atışın Yazı gelmesi \(B\) olsun. İlk atışta ne olduğunu görmek ikinci atışın fiziksel koşullarını değiştirmez:

İki atışın da Yazı gelmesi için önce ilk, sonra ikinci koşulun sağlanması gerekir. İlk koşul olası durumların yarısını bırakır; ikinci bağımsız koşul da kalanların yarısını bırakır:

Genel olarak \(A\) ile \(B\) bağımsızsa:

eşitliği sağlanır. İki olayın bağımsızlığını kontrol ederken kesişim olasılığını bu çarpımla karşılaştırabiliriz.

Bilgi Olasılığı Değiştiriyorsa: Bağımlı Olaylar

Bir olayın gerçekleştiğini öğrenmek diğer olayın olasılığını değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır.

Standart 52 kartlık bir destede 4 As bulunur. İlk çekilen kartın As olma olasılığı:

olsun. İlk kart As çıktıktan sonra onu desteye geri koymadan ikinci kartı çekersek destede 51 kart ve 3 As kalır. İkinci kartın As gelme olasılığı artık:

olur. İlk çekiş, ikinci çekişin koşullarını değiştirdiği için olaylar bağımlıdır.

İki kartın da As olma olasılığını hesaplarken değişen ikinci oranı kullanırız:

Buradaki çarpım bizi bir sonraki makalenin konusuna yaklaştırır. İkinci kesir, “ilk kartın As olduğunu biliyorken ikinci kartın As olma olasılığı”dır. Bu tür güncellenmiş olasılıkları koşullu olasılık ile ifade edeceğiz.

Kartı Geri Koymak Neyi Değiştirir?

İlk kartı gördükten sonra desteye geri koyup desteyi yeniden karıştırırsak ikinci çekişte yine 52 kart ve 4 As bulunur. İkinci kartın As olma olasılığı:

olarak kalır. İlk çekiş ikinci çekişin olasılığını değiştirmediği için, uygun karıştırma varsayımı altında iki çekiş bağımsızdır.

Aynı “iki kart çekme” ifadesi, kartın geri konup konmamasına göre iki farklı olasılık modeli oluşturur. Bağımlılık olayların adlarından değil, deneyin nasıl yapıldığından ve bir sonucun diğerinin olasılığını değiştirip değiştirmediğinden doğar.

Birbirini Dışlamak ile Bağımsızlık Neden Aynı Değildir?

Birbirini dışlamak ve bağımsız olmak farklı koşullardır:

• Birbirini dışlayan olaylar aynı deneyde birlikte gerçekleşemez.
• Bağımsız olaylarda birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez.

Bir zarın 1 gelmesi \(A\), 2 gelmesi \(B\) olsun. Tek atışta ikisi birlikte gerçekleşemediği için olaylar ayrıdır:

Fakat bağımsız olsalardı:

olması gerekirdi. Gerçek kesişim olasılığı 0 olduğuna göre bu olaylar bağımsız değildir.

Zarın 1 geldiğini öğrendiğimiz anda aynı atışta 2 gelmiş olma olasılığı sıfırdır. İlk olay, ikinci olayın olasılığına ilişkin bilgimizi değiştirmiştir.

Bağımsızlığı Matematikle Kontrol Edelim

Bir zarın çift gelmesi \(A=\{2,4,6\}\), 4'ten küçük gelmesi de \(B=\{1,2,3\}\) olsun. Her iki olayın olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir.

İki olayın kesişiminde yalnızca 2 vardır:

Bağımsızlık için bekleyeceğimiz çarpım ise:

olur. \(\frac{1}{6}\neq\frac{1}{4}\) olduğundan \(A\) ile \(B\) bağımsız değildir. Bunu olayların adlarından çıkaramayız; kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımını karşılaştırırız.

Koşullu Olasılığa Kısa Bir Ön Bakış

“\(A\)'nın gerçekleştiğini biliyorsak \(B\)'nin olasılığı nedir?” sorusunu:

ile gösteririz. Bu ifade “\(A\) gerçekleşmişken \(B\)'nin olasılığı” diye okunur. Ortadaki dik çizgi “koşuluyla” anlamına gelir; bölme işlemi değildir.

\(P(A)>0\) olmak üzere olaylar bağımsızsa \(A\)'yı öğrenmek \(B\)'yi değiştirmez:

Bağımlı olaylarda ise bu iki değer farklıdır. Kartı geri koymadan çektiğimiz örnekte, ikinci kartın başlangıçtaki As olasılığı \(\frac{4}{52}\), ilk kartın As olduğunu öğrendikten sonraki olasılığı ise \(\frac{3}{51}\)'dir.

Koşullu olasılığın genel formülünü ve yeni bilgiyle olasılık güncellemenin güçlü yolu olan Bayes Teoremi'ni bir sonraki makalede ayrıntılı biçimde kuracağız.

Art Arda Bağımsız Denemeler ve Kumarbaz Yanılgısı

Adil bir parayı üç kez attığımızda üç atışın da Yazı gelme olasılığı:

olur. On atışın da Yazı gelmesi ise:

olasılığına sahiptir. Bu, onuncu atışa gelindiğinde Yazı olasılığının küçüldüğü anlamına gelmez. İlk dokuz atış Yazı gelmiş olsa bile adil paranın onuncu atışta Yazı gelme olasılığı hâlâ \(\frac{1}{2}\)'dir.

Geçmişte çok sayıda Yazı geldiği için “artık Tura gelmek zorunda” diye düşünmeye kumarbaz yanılgısı (gambler's fallacy) denir. Bağımsız bir deney geçmiş sonuçları hatırlamaz.

On atışın hepsinde Yazı gelmesiyle, önceden belirlediğimiz Y-T-Y-Y-T-T-Y-T-Y-T dizisinin olasılığı aynıdır: \(\frac{1}{1024}\). Tamamı Yazı olan dizi düzenli göründüğü için daha şaşırtıcı gelebilir; yine de tek tek belirlenmiş diziler eşit olasılıklıdır. “Herhangi bir karışık dizi” ise çok sayıda sonucu kapsar ve tek bir diziyle aynı olay değildir.

Üç Olayda Bağımsızlığın İnceliği

İkiden fazla olay olduğunda yalnızca her ikiliyi kontrol etmek her zaman yeterli değildir. Bunu iki para atışıyla görebiliriz:

• \(A\): Birinci para Yazı gelsin.
• \(B\): İkinci para Yazı gelsin.
• \(C\): İki para aynı yüzü göstersin.

Her olayın olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Herhangi iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı da \(\frac{1}{4}\)'tür. Dolayısıyla olaylar ikişer ikişer bağımsız görünür.

Fakat üçü birden yalnızca \((\text{Y},\text{Y})\) sonucunda gerçekleşir:

Üç olay ikişer ikişer bağımsız olsa da birlikte bağımsız değildir. Dolayısıyla her çift için çarpım kuralını doğrulamak, üç olayın ortak durumunu tek başına belirlemez.

Olasılık ile Gözlenen Sıklık Aynı Şey midir?

Adil bir paranın Yazı gelme olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Fakat parayı on kez attığımızda mutlaka beş Yazı görmek zorunda değiliz. Yedi Yazı görürsek deneydeki Yazı oranı:

olur. Bu gözlem, paranın teorik Yazı olasılığını otomatik olarak 0,7 yapmaz. On deneme küçük bir örnektir ve rastgele dalgalanma içerebilir.

Deney sayısı çok arttığında gözlenen oranın gerçek olasılığa yaklaşmasını bekleriz. Bu düşünce Büyük Sayılar Yasası (Law of Large Numbers) ile açıklanır. “Yaklaşma”, her yeni atışta oranın düzenli biçimde düzeleceği anlamına gelmez; oran bir süre yukarı ve aşağı hareket edebilir. Söylediğimiz şey uzun dönemde büyük sapmaların genellikle azalmasıdır.

Az sayıdaki gözlem, yapay zekâ sistemlerinin öğrenmeye çalıştığı davranış hakkında yanıltıcı olabilir. Daha çok veri genellikle daha güvenilir tahminlere yardımcı olur; ancak verideki hataları, taraflılığı veya temsil sorununu kendiliğinden gidermez.

Olasılık Kesin Sonuç Değildir

Bir hava tahmini \(P(\text{Yağmur})=0{,}70\) diyorsa “kesinlikle yağmur yağacak” demiyordur. Tahminin kapsadığı yer, zaman aralığı, kullanılan veriler ve model altında yağmur olayına yüzde 70 olasılık verildiğini söyler.

Tek bir günün sonunda yalnızca yağmur yağmış veya yağmamış olabilir. Sonuç gerçekleşti diye yüzde 70 tahmini otomatik olarak doğru, gerçekleşmedi diye otomatik olarak yanlış sayamayız. Böyle tahminleri değerlendirmek için çok sayıda benzer duruma bakarız. Yüzde 70 denilen günlerin yaklaşık yüzde 70'inde yağmur yağıyorsa tahminler bu açıdan iyi ayarlanmış demektir.

Bu özellik olasılık kalibrasyonu olarak adlandırılır. Kalibrasyon, yapay zekâ modelinin ürettiği sayıların gerçek hayattaki gerçekleşme oranlarıyla ne kadar uyumlu olduğunu anlamamıza yardım eder.

İki Zar Örneğinde Kavramları Birleştirelim

İki adil ve birbirinden bağımsız zar atalım. Her zarın altı olası yüzü olduğundan sıralı sonuç sayısı:

olur. Toplamın 7 olması olayına \(A\) diyelim. Bu olayı sağlayan altı sonuç vardır:

Bu nedenle:

Birinci zarın çift gelmesi olayına \(B\) diyelim. Bunun olasılığı \(\frac{1}{2}\)'dir. Hem toplamın 7 hem de birinci zarın çift olması için üç sonuç uygundur:

Dolayısıyla:

Bağımsızlık kontrolü de aynı sonucu verir:

“Toplamın 7 olması” ile “birinci zarın çift olması” bu örnekte bağımsızdır. Bunu kesişim olasılığı ile ayrı olasılıkların çarpımını karşılaştırarak gördük.

Yapay Zekâ Neden Olasılığa İhtiyaç Duyar?

Gerçek veriler eksik, gürültülü veya birden fazla yoruma açık olabilir. Aynı belirti farklı hastalıklarda görülebilir; benzer pikseller farklı nesnelere ait olabilir. Bir cümle de birden çok kelimeyle devam edebilir. Yapay zekâ modelleri, olası sonuçlar üzerine dağılımlar öğrenerek bu belirsizlikleri ifade edebilir.

Bir görüntü sınıflandırma modeli şu değerleri üretebilir:

Olasılıkların toplamı 1'dir:

Model en yüksek değere sahip “Kedi” sınıfını seçebilir. Diğer sınıflara verdiği değerler de seçimin ne kadar belirgin olduğunu gösterir: \(0{,}72\) ile \(0{,}71\) birbirine, \(0{,}99\) ile \(0{,}01\)'den çok daha yakındır.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar makalesinde gördüğümüz softmax, modelin ham çıktılarını toplamı 1 olan pozitif değerlere dönüştürebilir. Ancak toplamın 1 olması tek başına bu sayıların gerçek dünyadaki olasılıklarla iyi uyumlu olduğunu kanıtlamaz. Model yanlış verilerle eğitilmiş, kendinden fazla emin veya kalibrasyonu zayıf olabilir.

Dil Modellerinde Sıradaki Parçanın Olasılığı

Bir dil modeli, verilen metinden sonra gelebilecek kelime veya kelime parçalarına olasılıklar atar. “Bugün hava çok...” ifadesinden sonra örnek olarak şöyle bir dağılım oluşabilir:

Model seçeneklerden birini seçer, seçilen parça metne eklenir ve sonraki adım için yeni bir dağılım hesaplanır. Böylece metin adım adım oluşur.

Modelin bir kelimeye yüksek olasılık vermesi, kurduğu cümlenin doğru olduğunu göstermez. Bu değer, parçanın verilen bağlamda ne kadar uygun görüldüğünü yansıtır; cümlenin gerçek dünya hakkındaki doğruluğunu doğrudan ölçmez.

Dil modellerindeki ardışık yapı genellikle:

biçiminde gösterilir. Bu ifade, önceki parçalar biliniyorken sıradaki \(x_t\) parçasının olasılığıdır. Dikey çizginin anlamını Koşullu Olasılık makalesinde ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Bağımsızlık Varsayımı Neden Kullanılır?

Gerçek dünyadaki değişkenlerin çoğu bütünüyle bağımsız değildir. Bir cümledeki kelimeler birbirini etkiler, komşu pikseller genellikle benzer nesne parçalarını gösterir, hava sıcaklığı klima kullanımını değiştirebilir.

Buna rağmen bağımsızlık varsayımı hesapları büyük ölçüde kolaylaştırabilir. Bağımsız \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı:

biçiminde hesaplanabilir. \(\prod\) işareti, yanındaki olasılıkların sırayla çarpılması gerektiğini söyler.

İleride inceleyeceğimiz Naive Bayes modeli, bazı özelliklerin sınıf bilgisi verildiğinde birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Bu varsayım gerçek hayatta kusursuz olmayabilir; yine de hesaplamayı yönetilebilir hâle getirip bazı problemlerde yararlı sonuçlar verebilir.

Bağımsızlık varsayımının veriye ve probleme ne kadar uyduğunu model kurarken ayrıca değerlendirmeliyiz.

Olasılık ile Nedensellik Aynı Şey Değildir

İki olayın birlikte daha sık görülmesi, birinin diğerine neden olduğunu tek başına kanıtlamaz. Yaz aylarında hem dondurma satışları hem de güneş yanığı vakaları artabilir. Bundan “dondurma yemek güneş yanığına yol açar” sonucu çıkmaz. Her ikisini de etkileyen üçüncü etken sıcak ve güneşli hava olabilir.

Olasılık bize olayların birlikte nasıl davrandığını anlatabilir; neden öyle davrandıklarını belirlemek için deney tasarımı, alan bilgisi ve nedensel düşünme gibi ek araçlara ihtiyaç duyarız. Bu ayrım ileride korelasyon ve regresyon konularında yeniden karşımıza çıkacak.

Temel Olasılıkta Sık Yapılan Hatalar

• Sonuç ile olayı karıştırmak: 3 bir sonuç, \(\{3\}\) ise bu sonucu içeren olaydır.
• Her sonucu eşit olasılıklı sanmak: İki zarın toplamları veya hileli bir zarın yüzleri eşit olasılıklı değildir.
• “Veya”yı yalnızca bir seçenek sanmak: Matematikte \(A\cup B\), \(A\), \(B\) veya her ikisinin gerçekleşmesini kapsar.
• Birleşimde ortak bölgeyi iki kez saymak: Genel formülde \(P(A\cap B)\) bir kez çıkarılmalıdır.
• Ayrık olaylarla bağımsız olayları aynı sanmak: Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez; bağımsız olaylar birbirlerinin olasılığını değiştirmez.
• Bağımsızlığı yalnızca sezgiyle ilan etmek: Gerektiğinde \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) eşitliğini kontrol etmeliyiz.
• Kartın geri konup konmadığını atlamak: Deneyin bu ayrıntısı çekişlerin bağımlı veya bağımsız olmasını değiştirebilir.
• Geçmiş bağımsız denemelerin geleceği dengelemek zorunda olduğunu düşünmek: Adil para önceki atışları hatırlamaz.
• Gözlenen sıklığı gerçek olasılıkla özdeşleştirmek: Küçük örneklerdeki oranlar rastgele dalgalanabilir.
• Model çıktısını otomatik olarak güvenilir olasılık saymak: Toplamı 1 olan değerlerin gerçek oranlarla uyumu ayrıca kalibrasyonla incelenmelidir.

Bir Olasılık Sorununda İzlenecek Yol

1. Rastgele deneyi açıkça tanımla.
2. Bütün olası sonuçları ve gerekli ayrıntı düzeyini belirle.
3. Örnek uzayı \(\Omega\) ile göster.
4. İlgilendiğin olayları sonuç kümeleri olarak yaz.
5. Sonuçların gerçekten eşit olasılıklı olup olmadığını kontrol et.
6. Sorudaki “ve”, “veya”, “değil” ve “en az bir” ifadelerini kesişim, birleşim veya tümleyene çevir.
7. Olayların ayrık, bağımsız ya da bağımlı olmasını deneyin yapısına göre değerlendir.
8. Bulduğun sonucun 0 ile 1 arasında olduğunu ve ilgili olasılıkların toplamının gerektiğinde 1 ettiğini denetle.
9. Sonucu bağlam içinde yorumla; olasılığı kesin sonuç veya nedensellik iddiasına dönüştürme.

Deneyi veya olayı yanlış tanımlarsak doğru formülü kullansak bile yanlış olasılığı hesaplarız. Bu adımlar, hesaplamadan önce neyi saydığımızı ve hangi koşulları kabul ettiğimizi kontrol etmemize yardım eder.

Sonuç: Belirsizliği Düzenlemenin Dili

Rastgele deneyde gerçekleşen tek sonuç ile bütün olası sonuçlardan oluşan örnek uzayı ayırdık. Olayı da bu uzaydaki ilgilendiğimiz sonuçlar kümesi olarak tanımladık.

Tümleyen gerçekleşmemeyi, birleşim olaylardan en az birini, kesişim ise birlikte gerçekleşmeyi gösterir. Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez; bağımsız olaylarda birini öğrenmek diğerinin olasılığını değiştirmez. Para ve kart örnekleri, bağımlılığın deneyin nasıl yapıldığına bağlı olduğunu gösterdi.

Yapay zekâ modeli olası sonuçlara değerler atayabilir. Bu değerleri yorumlarken modelin verisini, kalibrasyonunu ve sayının gerçekte neyi ölçtüğünü birlikte değerlendirmeliyiz.

Yeni bir bilgi öğrendiğimizde olasılıkları nasıl güncelleyeceğimizi bir sonraki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi makalesinde inceleyeceğiz. Önce \(P(B\mid A)\) ifadesini kuracak, ardından gözlenen sonuçtan olası nedenlere doğru nasıl akıl yürüteceğimizi Bayes Teoremi ile göreceğiz.

Yazar: Levent KARAGÖL