İntegral, çok küçük parçaların bir araya geldiğinde oluşturduğu toplam etkiyi hesaplamamızı sağlayan Kalkülüs'ün en temel araçlarından biridir. Türev bir fonksiyonun belirli bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini söylerken, integral bu değişimlerin belirli bir aralık boyunca birikmesi sonucunda ne elde edildiğini hesaplar. Geometrik açıdan bir eğrinin altında kalan alanı, fiziksel açıdan değişken bir hızla gidilen toplam mesafeyi, olasılık açısından ise bir dağılımın belirli bir aralıkta gerçekleşme ihtimalini bulmamızı sağlar. Bu makalede integralin sezgisel anlamından başlayarak toplam kavramından nasıl ortaya çıktığını, Riemann toplamlarını, belirli ve belirsiz integralleri, integral alma kurallarını ve Türev ile İntegral arasındaki güçlü ilişkiyi inceleyeceğiz. Ardından integrallerin yapay zeka ve makine öğrenmesinde nerelerde karşımıza çıktığını göreceğiz.

İntegral Nedir?

Bir önceki makalemizde Türev kavramını incelerken şu sorunun cevabını aramıştık: Bir şey şu anda ne kadar hızlı değişiyor? İntegralde ise bakış açımızı tersine çevireceğiz ve şu soruyu soracağız: Bu küçük değişimlerin tamamını biriktirirsek toplamda ne elde ederiz?

Basit bir örnekle başlayalım. Bir otomobilin 3 saat boyunca sabit olarak 60 km/s hızla hareket ettiğini biliyorsak, aldığı toplam yolu hesaplamak oldukça kolaydır.

Burada herhangi bir probleme ihtiyacımız yoktur, çünkü hız değişmemektedir.

Peki otomobil sürekli hızlanıyor veya yavaşlıyorsa?

Örneğin otomobilin hızının zamana göre:

fonksiyonu ile değiştiğini düşünelim.

Buna göre otomobilin hızı:

Zaman \(t\)	Hız \(v(t)\)
0	0
1	2
2	4
3	6

şeklinde sürekli artacaktır.

Artık:

formülünü doğrudan kullanamayız. Çünkü hangi hızı kullanacağız?

0 mı?

2 mi?

4 mü?

6 mı?

Aslında otomobil 0 ile 3 saniye arasında bunların yalnızca herhangi biriyle değil, sonsuz sayıda farklı hız değeriyle hareket etmektedir.

İşte integral tam olarak böyle bir problemi çözmek için ortaya çıkar.

Küçük Parçaları Toplamak

Problemi çözebilmek için 3 saniyelik zaman aralığını daha küçük parçalara bölelim. Öncelikle her parçanın 1 saniye olduğunu düşünelim. Her bir saniye içerisinde hızın değişmediğini varsayarak yaklaşık bir yol hesabı yapabiliriz.

İlk saniyenin başındaki hız:

ikinci saniyenin başındaki hız:

üçüncü saniyenin başındaki hız:

olduğuna göre yaklaşık toplam yol:

birim çıkar.

Ama burada hızın her saniye boyunca sabit kaldığını varsaydık. Gerçekte hız sürekli artmaktadır. Bu nedenle 6 değeri gerçek yolun altında kalacaktır.

Bu sefer her aralığın sonundaki hızları kullanalım:

Bu sonuç ise gerçek değerin üzerinde olacaktır.

Elimizde şimdilik iki tahmin var:

Daha iyi bir sonuç elde etmek için yapabileceğimiz şey tahmin yöntemimizi değiştirmek değil, zaman aralıklarını küçültmektir.

Bu sefer her aralığı 0.5 saniyeye bölelim.

Sol uçlardaki hızları kullanırsak:

sağ uçlardaki hızları kullanırsak:

elde ederiz.

Aralıkları küçülttükçe iki tahmin birbirine yaklaşmaya başlar:

Parça Genişliği	Sol Yaklaşım	Sağ Yaklaşım
1	6	12
0.5	7.5	10.5
0.1	8.7	9.3
0.01	8.97	9.03

Gördüğümüz gibi aralık genişliği küçüldükçe iki sonuç da 9 değerine yaklaşmaktadır.

Peki aralık genişliğini sıfıra doğru yaklaştırırsak ne olur?

Tanıdık geldi mi?

Yine Limit kavramına geldik.

Riemann Toplamı

Bir fonksiyonun belirli bir aralık boyunca oluşturduğu toplam etkiyi hesaplamak için aralığı çok sayıda küçük parçaya bölebiliriz.

Her parçanın genişliğini: \(\Delta x\) olarak gösterelim.

Her küçük parçadaki fonksiyon değerini yaklaşık olarak sabit kabul edersek, o parçanın katkısı:

olacaktır.

Bütün parçaları topladığımızda:

ifadesini elde ederiz.

Bu yapıya Riemann toplamı adı verilir.

Ancak halen yaklaşık bir sonuç elde ediyoruz. Parçaların genişliğini giderek küçültüp parça sayısını sonsuza götürdüğümüzde ise:

ifadesine ulaşırız.

İşte bu, belirli integralin matematiksel temelidir.

Başka bir ifadeyle:

İntegral, sonsuz sayıda sonsuz küçük katkının limit aracılığıyla toplanmasıdır.

Burada önemli bir nokta var.

"Parçaları sonsuz küçük yapıyoruz" şeklindeki sezgisel anlatım oldukça kullanışlıdır, ancak matematiksel olarak yaptığımız şey sıfır genişliğinde parçaları gerçekten toplamak değildir. Parçaların genişliğini sıfıra yaklaştırırken toplamın hangi değere yaklaştığını hesaplıyoruz.

Yani Limit yine sahnede.

Limit olmadan Türev'i tanımlayamadığımız gibi, İntegral'i de doğru şekilde tanımlayamayız.

İntegral Sembolü

İntegrali ilk gördüğümüzde gösterimi biraz yabancı gelebilir:

Bu ifadenin parçalarını inceleyelim.

• \(\int\) : İntegral sembolüdür. Uzatılmış bir "S" harfine benzer ve tarihsel olarak "sum", yani toplam fikrinden gelir.
• \(a\) : Toplama işleminin başladığı alt sınırdır.
• \(b\) : Toplama işleminin bittiği üst sınırdır.
• \(f(x)\) : Biriktirdiğimiz fonksiyondur.
• \(dx\) : İntegrasyonun \(x\) değişkenine göre yapıldığını belirtir.

Dolayısıyla:

ifadesini kabaca:

**\(2x\) fonksiyonunun 0 ile 3 arasındaki bütün küçük katkılarını topla**

şeklinde okuyabiliriz.

Buradaki \(dx\), sıradan anlamda bağımsız bir sayı değildir. Riemann toplamında kullandığımız \(\Delta x\) aralıklarının sıfıra yaklaşması fikrinin integral gösterimindeki karşılığı olarak düşünülebilir.

İntegralin Geometrik Anlamı

İntegralin geometrik anlamı işleri çok daha anlaşılır hale getirir.

Bir \(f(x)\) fonksiyonunu koordinat düzleminde çizdiğimizi düşünelim.

integrali, geometrik olarak fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında, \(a\) ve \(b\) noktaları arasında kalan işaretli alanı hesaplar.

Örneğin:

fonksiyonunun 0 ile 4 arasındaki integralini düşünelim.

Grafik üzerinde yüksekliği 3, genişliği 4 olan bir dikdörtgen oluşur.

Dolayısıyla alan:

olacaktır.

Gerçekten de:

çıkar.

Bir başka örnek olarak:

fonksiyonunun 0 ile 4 arasındaki integraline bakalım.

Grafiğin altında tabanı 4, yüksekliği 4 olan bir üçgen oluşur.

Alan:

olacaktır.

Dolayısıyla:

çıkar.

Burada çok önemli bir şeyi fark edebiliriz.

İntegral ilk bakışta "alan hesaplama yöntemi" gibi görünse de aslında alan yalnızca birikim fikrinin geometrik yorumudur.

Az önce otomobil örneğinde biriktirdiğimiz şey yoldu.

Grafik üzerinde baktığımızda ise hız-zaman grafiğinin altında kalan alanı hesaplıyorduk.

Çünkü:

olduğu için hız grafiğinin altındaki her küçük dikdörtgen, küçük bir yol miktarını temsil ediyordu.

İşaretli Alan

İntegral ile ilgili önemli ayrıntılardan biri, grafiğin x ekseninin altında kalan bölümlerinin negatif kabul edilmesidir.

Örneğin:

fonksiyonunun \(-1\) ile \(1\) arasındaki integralini ele alalım.

Fonksiyon \(-1\) ile 0 arasında x ekseninin altında, 0 ile 1 arasında ise üstündedir.

Sol taraftaki geometrik alan:

olmasına rağmen integral açısından:

olarak değerlendirilir.

Sağ tarafta ise:

alan bulunur.

Dolayısıyla:

çıkar.

Burada geometrik olarak toplam alanın sıfır olduğunu söylemiyoruz. İki adet üçgenimiz vardır ve gerçek geometrik alan:

birim karedir.

İntegralin hesapladığı şey net işaretli alan, yani toplam birikimdir.

Eğer gerçek geometrik alanı hesaplamak isteseydik:

ifadesini kullanmamız gerekirdi.

Bu ayrım özellikle fizik, sinyal işleme ve olasılık gibi alanlarda son derece önemlidir.

Pozitif ve negatif etkiler birbirini götürebilir.

Belirli ve Belirsiz İntegral

Şimdiye kadar hep başlangıç ve bitiş noktaları belirli integraller kullandık:

Buna belirli integral denir ve sonuç bir sayıdır.

Örneğin:

ifadesinin sonucu 8'dir.

Ancak integralin bir başka kullanım şekli daha vardır:

Burada herhangi bir başlangıç veya bitiş noktası bulunmaz.

Buna belirsiz integral adı verilir.

Belirsiz integral bize bir alan değeri değil, türevi \(f(x)\) olan fonksiyonları verir.

İşte burada Türev ile İntegral arasındaki çok önemli ilişki ortaya çıkmaya başlar.

İlkel Fonksiyon

Bir önceki makalemizde:

fonksiyonunun türevinin:

olduğunu görmüştük.

Şimdi elimizde yalnızca:

fonksiyonunun bulunduğunu ve şu soruyu sorduğumuzu düşünelim:

**Hangi fonksiyonun türevini alırsam \(2x\) elde ederim?**

Cevap:

olacaktır.

Çünkü:

Bu nedenle:

yazabiliriz.

Türevi verilen fonksiyonu bulma işlemine ters türev veya ilkel fonksiyon bulma adı verilir.

Dolayısıyla belirsiz integral:

aslında:

**Türevi \(f(x)\) olan fonksiyonu bul**

demektir.

Peki Bu \(+C\) Nereden Geldi?

İntegral öğrenirken ilk başta en garip görünen şeylerden biri:

ifadesidir.

Neden:

yazmak yerine:

yazıyoruz?

Çünkü türev sabit sayıları yok eder.

Örneğin:

Bu fonksiyonların tamamının türevi aynıdır.

Dolayısıyla bize:

verildiğinde bunun hangi fonksiyondan geldiğini kesin olarak bilemeyiz.

Hepsi:

ailesinin üyeleridir.

Buradaki \(C\), herhangi bir sabit sayıyı temsil eden integrasyon sabitidir.

Bu nedenle belirsiz integral alırken \(+C\) yazmayı unutmamamız gerekir.

Temel İntegral Kuralları

Türevde olduğu gibi integralde de her işlemi Riemann toplamından baştan hesaplamak zorunda değiliz.

Sık kullanılan fonksiyonlar için temel integral kurallarından faydalanabiliriz.

Sabit Sayının İntegrali

Bir sabit sayının integrali:

şeklindedir.

Örneğin:

Çünkü:

olur.

Kuvvet Kuralı

Türevde:

kuralını öğrenmiştik.

İntegralde bu işlemi tersine çeviririz:

Burada:

olmalıdır.

Örneğin:

için üssü bir artırırız:

ve yeni üssüne böleriz:

Kontrol etmek oldukça kolaydır:

Başka bir örnek:

Sabit Katsayı Kuralı

Bir sabit katsayı integralin dışına çıkarılabilir:

Örneğin:

Toplama ve Çıkarma Kuralı

Fonksiyonları ayrı ayrı integre edebiliriz:

Aynı durum çıkarma için de geçerlidir.

Örneğin:

ifadesini ele alalım.

Terimleri ayrı ayrı integre edersek:

Dolayısıyla:

olur.

Doğru olup olmadığını kontrol etmek için türevini almamız yeterlidir:

Başladığımız fonksiyona geri döndük.

Bu kontrol yöntemi integral işlemlerinde son derece kullanışlıdır.

Bazı Temel İntegraller

Sık karşılaşacağımız bazı fonksiyonların integralleri aşağıdaki gibidir:

Fonksiyon	İntegrali
\(k\)	\(kx+C\)
\(x^n,\ n\neq-1\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln|x|+C\)
\(e^x\)	\(e^x+C\)
\(a^x\)	\(\frac{a^x}{\ln a}+C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x+C\)
\(\cos x\)	\(\sin x+C\)

Burada kuvvet kuralının önemli bir istisnası vardır.

Eğer:

ise:

olur.

Kuvvet kuralını uygulamaya çalışırsak paydada:

elde edeceğimiz için işlem tanımsız hale gelir.

Bu özel durumda:

kuralı kullanılır.

Mutlak değer işareti önemlidir, çünkü \(\ln x\) yalnızca pozitif \(x\) değerleri için reel sayılarda tanımlıyken \(\frac{1}{x}\) hem pozitif hem negatif bölgelerde tanımlıdır.

Türev ve İntegral Arasındaki İlişki

Şimdi Kalkülüs'ün en güzel noktalarından birine geldik.

Türev ve integral ilk bakışta tamamen farklı işler yapıyor gibi görünür.

Türev:

Bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini bulur.

İntegral:

Küçük değişimleri toplayarak toplam birikimi bulur.

Fakat aslında bu iki işlem birbirinin tersidir.

Bunu basit bir örnek üzerinde görelim.

Bir cismin konum fonksiyonu:

olsun.

Konumun türevini aldığımızda hızı elde ederiz:

Şimdi hızın integralini alalım:

Tekrar konum fonksiyonuna geri döndük.

Yani:

şeklinde bir ilişki vardır.

Fizikte bunu bir adım daha ileri götürebiliriz:

ve ters yönde:

Bu durum yalnızca fizik için geçerli değildir.

Türev ve integralin birbirinin ters işlemleri olması Kalkülüs'ün temel yapısının bir sonucudur.

Kalkülüsün Temel Teoremi

Şimdiye kadar belirli integral ile belirsiz integral arasında iki farklı kavram varmış gibi ilerledik.

Bir tarafta:

ile alan veya toplam birikim hesaplıyoruz.

Diğer tarafta:

ile türevi \(f(x)\) olan fonksiyonu buluyoruz.

İlk bakışta bunların aynı sembolle gösterilmesi bile biraz garip görünebilir.

Fakat bunları birbirine bağlayan son derece güçlü bir teorem vardır:

Kalkülüsün Temel Teoremi.

Eğer:

ise:

olur.

Yani bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için sonsuz sayıda dikdörtgeni gerçekten tek tek toplamamız gerekmez.

Önce fonksiyonun ilkel fonksiyonunu bulur, ardından üst ve alt sınırdaki değerlerini birbirinden çıkarırız.

Bu sonuç ilk karşılaşıldığında neredeyse sihir gibi görünebilir.

Bir eğrinin altındaki sonsuz sayıda küçük alanı toplama problemi, yalnızca iki fonksiyon değerinin çıkarılmasına dönüşmektedir.

İlk Örneğimize Geri Dönelim

Makalenin başındaki otomobilimizi hatırlayalım.

Hız fonksiyonumuz:

ve 0 ile 3 saniye arasında alınan yolu bulmaya çalışıyorduk.

Riemann toplamlarıyla değerin 9'a yaklaştığını görmüştük.

Şimdi Kalkülüsün Temel Teoremi'ni kullanalım:

Önce ilkel fonksiyonu bulalım:

Belirli integralde \(+C\) sabiti sonuçta birbirini götüreceğinden yazmamıza gerek yoktur.

Dolayısıyla:

elde ederiz.

Riemann toplamında:

aralığına kadar yaklaşmıştık.

Şimdi ise kesin sonucu: 9 olarak bulduk.

Buradaki:

gösterimi:

anlamına gelir.

Bir Belirli İntegral Örneği

Şimdi:

fonksiyonunun 1 ile 3 arasındaki integralini hesaplayalım.

Aradığımız ifade:

Önce ilkel fonksiyonu buluruz:

Ardından:

hesaplarız.

ve:

Dolayısıyla:

olur.

Neden Türev ile İntegral Birbirini Geri Alıyor?

Bu ilişkinin arkasındaki sezgiyi anlamak, formülü ezberlemekten çok daha değerlidir.

Şöyle bir fonksiyon tanımlayalım:

Bu fonksiyon bize \(a\) noktasından \(x\) noktasına kadar biriken toplam alanı veriyor olsun.

Şimdi \(x\)'i çok küçük bir miktar:

kadar artırdığımızı düşünelim.

Biriken alana küçük bir şerit daha eklenir.

Bu şeridin alanı yaklaşık olarak:

olacaktır.

Dolayısıyla alan fonksiyonundaki değişim:

şeklindedir.

Her iki tarafı \(\Delta x\)'e bölersek:

elde ederiz.

Şimdi:

limitini alırsak:

sonucuna ulaşırız.

Yani birikmiş alan fonksiyonunun değişim hızı, o anda altında alan biriktirdiğimiz fonksiyonun değeridir.

İntegral biriktirir.

Türev ise bu birikimin ne hızla gerçekleştiğini ölçer.

İkisinin birbirinin tersi olmasının altında yatan temel sezgi budur.

İntegralin Temel Özellikleri

Belirli integraller üzerinde işimizi kolaylaştıran bazı temel özellikler vardır.

Aynı Noktadan Başlayıp Bitmek

Bir aralığın genişliği yoksa birikim de yoktur:

Sınırları Ters Çevirmek

İntegrasyon yönünü tersine çevirdiğimizde işaret değişir:

Aralığı Parçalara Ayırmak

Bir integral istediğimiz noktadan bölünebilir:

Bu aslında birikim fikrinin doğal sonucudur.

İstanbul'dan Ankara'ya giderken yolu iki farklı bölümde ölçmemiz toplam mesafeyi değiştirmez.

Toplama ve Sabit Katsayı

İntegral doğrusal bir işlemdir:

Bu özellik özellikle ileride olasılık ve istatistikte sık sık karşımıza çıkacaktır.

Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri

İntegralin ilginç kullanım alanlarından biri de sürekli değişen bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değerini hesaplamaktır.

Bir \(f(x)\) fonksiyonunun \(a\) ile \(b\) arasındaki ortalama değeri:

formülü ile bulunur.

Makalenin başındaki:

hız fonksiyonuna tekrar bakalım.

0 ile 3 saniye arasındaki toplam yol: 9 birimdi.

Ortalama hız:

olur. Hız doğrusal olarak 0'dan 6'ya çıkıyorsa ortalama hız 3'tür.

Ancak integral formülünün avantajı, fonksiyon doğrusal olmasa bile aynı yöntemin çalışmasıdır.

Birimlere Dikkat

İntegralin fiziksel anlamını anlamanın güzel yollarından biri de birimleri takip etmektir.

Türev alırken birimler birbirine bölünür.

Örneğin:

hız birimidir.

İntegral alırken ise birimler tekrar çarpılır.

Hız:

ve zaman değişimi:

olduğuna göre:

elde ederiz.

Bu nedenle:

bize mesafe verir.

Benzer şekilde bir elektrik devresinde akımın zamana göre integrali elektrik yükünü, güç tüketiminin zamana göre integrali ise kullanılan enerjiyi verir.

İntegral yalnızca geometrik alan hesabı değildir.

Bir oranın veya yoğunluğun bir aralık boyunca biriktirilmesidir.

Her İntegral Kolayca Hesaplanabilir mi?

Hayır.

Tıpkı türevde olduğu gibi integralde de bazı fonksiyonların işlemleri oldukça kolayken bazıları daha karmaşık yöntemler gerektirir.

Örneğin:

doğrudan kuvvet kuralıyla çözülebilir.

Ancak:

veya:

gibi integraller aynı şekilde çözülemez.

Hatta bazı fonksiyonların integralleri temel fonksiyonlar kullanılarak kapalı biçimde ifade edilemez.

Bu durumda yerine koyma (substitution), parçalı integrasyon (integration by parts) veya çeşitli sayısal yöntemlerden faydalanılır.

Bu makalede amacımız bütün integral çözme tekniklerini ezberlemek değil, integralin temelinde yatan birikim fikrini anlamaktır.

Çünkü yapay zeka açısından bizi asıl ilgilendiren nokta da budur.

Sayısal İntegral

Gerçek dünyada her zaman elimizde güzel bir matematiksel fonksiyon bulunmaz.

Örneğin bir sensörden saniyede yüz kez veri aldığımızı düşünelim.

Elimizde:

şeklinde analitik bir formül değil, yalnızca ölçülmüş sayılar bulunabilir.

Bu durumda ilkel fonksiyon bulamayız.

Ancak integralin başlangıçtaki fikrine geri dönebiliriz:

Küçük parçaların katkılarını topla.

Riemann toplamları zaten bunun en basit yöntemidir.

Daha iyi bir yaklaşım olarak dikdörtgenler yerine yamuklar kullanılabilir.

İki komşu örnek arasındaki alan yaklaşık olarak:

şeklinde hesaplanır.

Bütün aralıklar toplandığında yamuk yöntemi (Trapezoidal Rule) elde edilir.

Örnek sayısı arttıkça ve aralıklar küçüldükçe sonuç genellikle gerçek integrale yaklaşır.

Bu bize önemli bir şey gösteriyor. İntegral yalnızca sembolik matematik işlemi değildir.

Elimizde yalnızca sayısal örnekler olduğunda bile birikim fikri kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Bu düşünce ileride inceleyeceğimiz Monte Carlo yöntemlerinin de temelinde farklı bir biçimde tekrar karşımıza çıkacaktır.

Yapay Zeka Gözüyle İntegral

Türev makalemizde yapay zeka bağlantısı oldukça doğrudandı.

Bir modelin maliyet fonksiyonunu azaltmak için hangi yönde ilerlemesi gerektiğini türev aracılığıyla belirlediğimizi görmüştük.

İntegral standart bir sinir ağının eğitim döngüsünde türev kadar görünür değildir.

Ancak yapay zekanın matematiksel altyapısının başka bir bölümünde neredeyse her yerdedir: Olasılık.

Makine öğrenmesinde elimizdeki verilerin belirli bir olasılık dağılımından geldiğini düşünürüz.

Sürekli bir rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu: \(p(x)\) olsun.

Bir olasılık dağılımının toplam olasılığı 1 olmak zorundadır.

Sürekli bir dağılımda sonsuz sayıda olası \(x\) değeri bulunduğundan bunların olasılıklarını tek tek toplayamayız.

Bunun yerine integral alırız:

Bu ifade bize olası bütün sonuçların toplam olasılığının %100 olduğunu söyler.

Örneğin bir \(X\) değişkeninin \(a\) ile \(b\) arasında bulunma olasılığı:

şeklinde hesaplanır.

Burada integralin geometrik yorumu yeniden karşımıza çıkar.

Olasılık yoğunluk eğrisinin altında kalan alan, o aralıktaki olasılığı temsil etmektedir.

İleride Normal Dağılım gibi sürekli olasılık dağılımlarını incelerken bu fikir son derece önemli olacaktır.

Beklenen Değer ve İntegral

İntegral yapay zekada yalnızca olasılık hesaplamak için kullanılmaz.

Bir rassal değişkenin uzun vadede beklediğimiz ortalama değerini ifade eden beklenen değer (Expected Value) de sürekli değişkenlerde integral aracılığıyla hesaplanır.

Burada yaptığımız şey oldukça anlamlıdır.

Her olası \(x\) değerini: \(x\), o değerin gerçekleşme yoğunluğu: \(p(x)\) ile ağırlıklandırıyor ve bütün olası değerler boyunca topluyoruz.

Yani integral yine aynı işi yapıyor:

Sonsuz sayıda küçük katkıyı bir araya getiriyor.

İleride Beklenen Değer ve Varyans makalesine geldiğimizde bu formülle tekrar karşılaşacağız.

Modelin Gerçek Maliyeti de Bir İntegraldir

Şimdi integral ile makine öğrenmesi arasındaki daha derin bir bağlantıya bakalım.

Bir modelin belirli bir veri örneğindeki hatasını: \(\ell(x,y)\) ile gösterelim.

Gerçek dünyadaki bütün olası veriler: \(p(x,y)\) dağılımından geliyor olsun.

Modelimizin gerçek ortalama hatası teorik olarak:

şeklinde düşünülebilir.

Başka bir ifadeyle bütün olası veriler üzerindeki hatayı, o verilerin gerçekleşme olasılığına göre ağırlıklandırıp topluyoruz.

Fakat burada büyük bir problem vardır.

Gerçek dünyadaki: \(p(x,y)\) dağılımını çoğu zaman bilmiyoruz.

Zaten makine öğrenmesine ihtiyaç duymamızın sebeplerinden biri de budur.

Elimizde yalnızca bu dağılımdan alınmış sonlu miktarda veri vardır:

Bu nedenle gerçek integrali hesaplamak yerine elimizdeki örnekler üzerinden yaklaşık bir ortalama hesaplarız:

Tanıdık geldi mi?

Biraz önce integralin sonsuz sayıda küçük katkının toplamı olduğunu söylemiştik.

Burada ise bilinmeyen bir dağılım üzerindeki integrali elimizdeki sonlu örneklerin toplamı ile yaklaşık olarak hesaplıyoruz.

Makine öğrenmesinde sürekli karşımıza çıkan:

ifadelerinin arkasında çoğu zaman böyle bir beklenen değer veya integral düşüncesi bulunur.

Bu bağlantı oldukça önemlidir. Çünkü model eğitirken hesapladığımız eğitim kaybı, aslında gerçek dünya dağılımındaki beklenen kaybın elimizdeki veri üzerinden yapılmış bir tahminidir.

Türev ve İntegral: Değişim ve Birikim

Artık Kalkülüs'ün iki büyük aracını da tanıyoruz.

Türev bize:

Şu anda ne kadar hızlı değişiyorum?

sorusunun cevabını verir.

İntegral ise:

Bu değişimleri biriktirirsem toplamda ne elde ederim?

sorusunu cevaplar.

Türev bütünü küçük bir anda inceler.

İntegral küçük parçaları bir araya getirerek bütünü oluşturur.

Bir anlamda iki farklı yönde hareket ederler:

ve:

Kalkülüsün Temel Teoremi ise bu iki hareketin aslında birbirinin tersi olduğunu gösterir.

Bu nedenle Türev ve İntegral birbirinden bağımsız iki matematik konusu değildir.

Aynı yapının iki farklı yüzüdür.

Limit bize sonsuz derecede küçük değişimleri matematiksel olarak ele alma yeteneği verdi.

Türev bu yeteneği kullanarak anlık değişimi ölçtü.

İntegral ise aynı Limit fikrini kullanarak sonsuz sayıda küçük katkıyı bir araya getirdi.

Böylece tek değişkenli Kalkülüs'ün temel üçlüsünü tamamlamış olduk:

Ancak yapay zeka modelleri çoğu zaman yalnızca tek bir değişkene sahip değildir.

Bir sinir ağı milyonlarca hatta milyarlarca farklı parametre içerebilir. Böyle bir sistemde yalnızca:

şeklinde tek bir değişkene göre türev almak yeterli olmayacaktır.

Her parametrenin modelin çıktısını ve maliyetini nasıl etkilediğini ayrı ayrı anlamamız gerekir.

Bir sonraki makalemizde bu nedenle tek değişkenli dünyadan çıkacağız.

Kısmi Türevler ile çok değişkenli fonksiyonlarda her değişkenin etkisini ayrı ayrı ölçmeyi, Gradyan ile de bütün bu değişim yönlerini tek bir matematiksel yapı içerisinde bir araya getirmeyi öğreneceğiz.

Ve o noktada yapay zeka modelinin "hatamı azaltmak için hangi yöne gitmeliyim?" sorusuna artık çok boyutlu uzayda cevap verebilecek hale geleceğiz.

Yazar: Levent KARAGÖL