Bir müşterinin satın alıp almayacağını, on dakikada kaç çağrı geleceğini ve bir paketin kaç gram çıkacağını tahmin ederken farklı türden belirsizliklerle karşılaşırız. Her birini uygun bir olasılık dağılımıyla anlatırız. Olasılık dağılımı, hangi sonuçların makul olduğunu ve ihtimalin bu sonuçlar arasında nasıl dağıldığını gösteren bir harita gibidir. Bu makalede Bernoulli, Poisson ve Normal dağılımlarını gündelik durumlar üzerinden kuracağız. Formüllerin hangi soruları yanıtladığını adım adım görüp yapay zekâ sistemlerinin bu dağılımları nasıl kullandığını inceleyeceğiz.

Üç Gündelik Soru, Üç Farklı Belirsizlik

Küçük bir çevrim içi mağaza işlettiğimizi düşünelim. Güne başlarken cevabını henüz bilmediğimiz üç sorumuz var:

1. Siteye gelen sıradaki ziyaretçi satın alma yapacak mı?
2. Önümüzdeki on dakikada kaç sipariş gelecek?
3. Paketleme makinesinden çıkan kahve paketi kaç gram olacak?

Birinci sorunun yalnızca iki cevabı vardır: evet veya hayır. İkinci sorunun cevabı bir sayımdır: 0, 1, 2, 3 ve böyle devam eder. Üçüncü sorunun cevabı ise bir ölçümdür: 499 gram, 500,2 gram, 501,07 gram gibi aradaki değerleri de alabilir.

Bernoulli iki sonuçlu tek bir olayı, Poisson belirli bir aralıktaki olay sayısını, Normal dağılım da bir merkezin çevresinde değişen sürekli ölçümleri modelleyebilir. Hangi dağılımın uygun olduğu, sonuçların türüne ve onları üreten koşullara bağlıdır.

Olasılık Dağılımı Bir İhtimal Haritasıdır

Önceki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi yazısında belirli bir olayın olasılığını ve yeni bilgiyle nasıl değiştiğini incelemiştik. Burada mümkün olan sonuçların tamamına bakacağız.

Bir zar için yalnızca “4 gelme olasılığı nedir?” diye sorarsak tek bir olayı inceleriz. Oysa 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sonuçlarının her birine ne kadar olasılık verildiğini birlikte yazarsak zarın olasılık dağılımını elde ederiz. Adil bir zarda bu altı sonucun her biri \(1/6\) pay alır. Bütün payların toplamı 1, yani yüzde 100 olmalıdır.

Olasılığı yüzde 100'lük bir bütçe gibi düşünebiliriz. Dağılım, bu bütçeyi mümkün sonuçlar arasında paylaştırır. Bazı sonuçlar daha büyük pay alır; hiçbirinin payı negatif olamaz ve payların toplamı tam yüzde 100'dür.

Sonucu henüz görmeden ona büyük \(X\) harfini verelim. Buna rastgele değişken (random variable) denir. \(X\), burada önümüzdeki on dakikadaki sipariş sayısıdır; süre dolup 3 sipariş geldiğinde gözlediğimiz değeri küçük harfle \(x=3\) diye yazarız.

Bir dağılımı okumaya şu sorularla başlayabiliriz:

• Hangi sonuçlar mümkün? Yalnızca 0 ve 1 mi, yoksa 0'dan başlayan sayımlar mı, yoksa bir ölçüm aralığındaki bütün değerler mi?
• Olasılık nerede yoğunlaşıyor? Hangi sonuçlar daha sık, hangileri daha seyrek bekleniyor?
• Dağılımın biçimini hangi sayılar belirliyor? Bir başarı olasılığı mı, ortalama olay sayısı mı, merkez ve yayılım mı?

Saymak ile Ölçmek Aynı Şey Değildir

Sipariş sayısını sayarken 0'dan 1'e, 1'den 2'ye basamaklarla ilerleriz. 1,4 sipariş gelmez. Böyle tek tek sayılabilen sonuçlara kesikli (discrete) deriz. Bernoulli ve Poisson dağılımları kesiklidir.

Paket ağırlığını ölçerken durum değişir. Yeterince hassas bir tartı 500 ile 501 gram arasında 500,1; 500,12; 500,123 gibi daha birçok değer gösterebilir. Sonuçlar sayı doğrusundaki bir aralığı doldurur. Böyle ölçümlere sürekli (continuous) deriz. Normal dağılım süre, ağırlık ve ölçüm hatası gibi sürekli nicelikler için sık kullanılan bir modeldir.

Soru	Sonuç türü	Mümkün değerlere örnek	Uygun aday
Ziyaretçi satın alacak mı?	İki sonuçlu	0 veya 1	Bernoulli
On dakikada kaç sipariş gelecek?	Kesikli sayım	0, 1, 2, 3, ...	Poisson
Paket kaç gram gelecek?	Sürekli ölçüm	499,8; 500; 500,14; ...	Normal

Bernoulli Dağılımı: Oldu mu, Olmadı mı?

Sıradaki ziyaretçinin satın alma yapıp yapmayacağını düşünelim. Satın alma gerçekleşirse sonucu 1, gerçekleşmezse 0 ile gösterelim. Geçmişte benzer ziyaretçilerin yüzde 30'u satın alma yapmış olsun. Bu durumda:

Sonuç	Anlamı	Olasılık
\(X=1\)	Satın alma gerçekleşti	\(p=0{,}30\)
\(X=0\)	Satın alma gerçekleşmedi	\(1-p=0{,}70\)

İki sonuçlu tek bir denemeyi bu şekilde modelleyen dağılıma Bernoulli dağılımı denir. \(p\), 1 diye adlandırdığımız sonucun olasılığıdır. Hangi sonucu 1 seçtiğimizi mutlaka söylemeliyiz; tıbbi bir testte 1 “hastalık var”, bir kalite kontrolünde 1 “ürün hatalı” anlamına gelebilir.

Tablodaki iki olasılığı tek bir formülde de yazabiliriz:

\(x=1\) yazınca \(p^1(1-p)^0=p\) kalır. \(x=0\) yazınca da \(p^0(1-p)^1=1-p\) elde ederiz. Üsler, hangi satırdaki olasılığı kullanacağımızı seçer.

\(p=0{,}30\) demek, tek bir ziyaretçinin yüzde 30'u satın alacak demek değildir. O ziyaretçi ya alır ya almaz. Yüzde 30, aynı koşullardaki çok sayıda ziyaretçi düşünüldüğünde satın alma gerçekleşmesini ne sıklıkta beklediğimizi anlatır. On ziyaretçi geldiğinde kaçının satın alacağını sormak ise artık tek Bernoulli denemesi değil, birden çok Bernoulli denemesinin toplamıdır; bu daha geniş soru Binom dağılımına götürür.

Yapay zekâda Bernoulli nerede karşımıza çıkar?

Spam–spam değil, sahtekârlık–normal veya tıklar–tıklamaz gibi ikili sınıflandırma görevlerinde gerçek etiket çoğu zaman 0 ya da 1'dir. Model ise önce 0 ile 1 arasında bir sayı üretebilir. Örneğin 0,80 çıktısı, model iyi kalibre edilmişse benzer örneklerin yaklaşık yüzde 80'inde 1 sonucunun görülmesi beklentisi olarak yorumlanabilir.

Modelin ham skoru, 0 ile 1 arasına dönüştürülmüş çıktısı, kalibre edilmiş olasılığı ve bir eşikle verdiği 0–1 kararı farklı şeylerdir. Model yüzde 80 dese de tek bir örneğin doğru sınıflandırıldığını buradan bilemeyiz; gerçek sonucu ayrıca görmemiz gerekir.

Poisson Dağılımı: Kaç Kez Oldu?

Mağazanın kayıtlarında on dakikada ortalama 2 sipariş geldiğini varsayalım. Yine de bazı aralıklarda hiç sipariş gelmez; bazılarında 1 veya 2, daha seyrek olarak 5 ya da 6 sipariş gelir.

Belirli bir zaman, alan veya uzunluk içinde oluşan olay sayısını modelleyen dağılımlardan biri Poisson dağılımıdır. Dağılımı belirleyen \(\lambda\) harfine “lambda” denir. Bu sayı, seçtiğimiz aralıkta beklenen ortalama olay sayısını gösterir. Örneğimizde \(\lambda=2\) sipariş/10 dakika olur.

\(\lambda=2\), her on dakikada tam 2 sipariş geleceği anlamına gelmez; olası sayımların ortalamasıdır. Aralığı da mutlaka belirtmeliyiz: Dakikada 2 sipariş ile on dakikada 2 sipariş farklı hızlardır.

Poisson dağılımında tam \(k\) olay görülme olasılığı şöyledir:

\(k\), olasılığını sorduğumuz olay sayısıdır. \(k!\), \(k\)'dan 1'e kadar sayıların çarpımıdır; \(0!=1\) kabul edilir. \(e\) ise yaklaşık \(2{,}718\) değerindeki matematiksel sabittir. Formülde \(\lambda\) olası sayımları ortalamanın çevresine yerleştirirken faktöriyel, büyük sayımların olasılığının denetimsizce büyümesini engeller.

\(\lambda=2\) için ilk birkaç sonucu hesaplayalım. \(e^{-2}\approx0{,}1353\) değerini kullanacağız:

Buna göre hiç sipariş gelmeme olasılığı yaklaşık yüzde 13,5; tam 1 veya tam 2 sipariş gelme olasılıklarının her biri yaklaşık yüzde 27,1'dir. “En fazla 2 sipariş” dendiğinde 0, 1 ve 2 sonuçlarını birlikte toplarız:

Yani modelin koşulları uygunsa, on dakikalık aralıkların yaklaşık yüzde 67,7'sinde en fazla 2 sipariş bekleriz. Ortalama hızın sabit kaldığını varsayarsak aralığı değiştirebiliriz: On dakikada ortalama 2 sipariş, otuz dakikada ortalama 6 sipariş demektir. Yeni hesapta \(\lambda=6\) kullanırız.

Poisson modeli ne zaman hikâyeye uymaz?

Poisson modeli, olayların yaklaşık sabit bir ortalama hızla ve birbirini doğrudan tetiklemeden oluştuğu durumlara uygundur. Öğle kampanyası sipariş hızını değiştirebilir; sosyal medyada paylaşılan bir sipariş başkalarını tetikleyebilir. Sistem arızası siparişleri bir süre durdurursa sıfır görülen aralıklar da artar. Bunlar olduğunda formülü hatasız kullansak bile model siparişlerin geliş biçimini iyi anlatmayabilir.

Yapay zekâda çağrı, arıza, tıklama veya talep sayısını tahmin ederken Poisson modeli kullanılabilir. Model, “önümüzdeki saat kaç çağrı gelir?” sorusuna tek sayı yerine olası sayımların dağılımıyla cevap verirse personel planlamasında gereken “10'dan fazla çağrı gelme riski”ni de hesaplayabiliriz.

Normal Dağılım: Bir Merkezin Çevresindeki Ölçümler

Kahve paketleme makinesini 500 grama ayarlayalım. Paketlerin ağırlığı yine de az biraz değişir: Çekirdeklerin yerleşimi, titreşim, nem ve tartının ölçüm hatası sonucu etkiler. Bu küçük etkiler iki yönde de biriktiğinde paketlerin çoğu 500 grama yakın, daha azı bu değerden uzak olabilir.

Bu tür simetrik, tek tepeli ve çan biçimli örüntüyü anlatan modele Normal dağılım denir. Dağılımı iki sayı belirler:

• \(\mu\) — “mü”: Dağılımın merkezi, yani uzun dönem ortalamasıdır.
• \(\sigma\) — “sigma”: Ölçümlerin merkez çevresinde ne kadar yayıldığını gösteren standart sapmadır. \(\sigma\) büyüdükçe çan yayvanlaşır; küçüldükçe ölçümler merkeze sıkışır.

Kısa gösterim şöyledir:

Bu gösterimi “\(X\), ortalaması \(\mu\) ve varyansı \(\sigma^2\) olan Normal dağılıma uyar” diye okuruz. İkinci sıraya standart sapmayı değil, onun karesi olan varyansı yazarız.

Makinenin merkezinin \(\mu=500\) gram, standart sapmasının \(\sigma=4\) gram olduğunu varsayalım. Normal dağılımda pratik bir yaklaşık kural vardır:

• Ölçümlerin yaklaşık yüzde 68'i merkezin bir standart sapma çevresinde, yani 496 ile 504 gram arasında kalır.
• Yaklaşık yüzde 95'i iki standart sapma çevresinde, yani 492 ile 508 gram arasında kalır.
• Yaklaşık yüzde 99,7'si üç standart sapma çevresinde, yani 488 ile 512 gram arasında kalır.

Yüzde 68–95–99,7 oranları Normal dağılım için geçerlidir. Teslimat sürelerinin dağılımı sağa doğru uzuyorsa veya kullanıcılar iki ayrı gruba ayrılıyorsa ortalama ve standart sapmayı bilmek bu oranları kullanmamıza yetmez.

Bir ölçüm merkezden ne kadar uzakta?

508 gramlık bir paketin sıra dışılığını kendi ölçeğimizde anlatmak için merkezden uzaklığı standart sapmaya böleriz. Elde edilen sayıya z-puanı denir:

Bizim paketimiz için:

Sonuç, paketin ortalamanın iki standart sapma üzerinde olduğunu söyler. Z-puanı yeni bir fiziksel ölçüm değildir; farklı ölçeklerdeki uzaklıkları ortak bir dille ifade eder. Negatif z-puanı merkezin altını, pozitif z-puanı üstünü gösterir.

Sürekli dağılımda neden “tam 500 gram” olasılığı sıfırdır?

Tartı 500 gram gösterebildiğine göre bu sonucun olasılığı nasıl sıfır olur? Sonsuz hassasiyetle söylenen “tam 500,000000...” tek bir noktadır; sayı doğrusunda genişliği yoktur. Sürekli dağılımda olasılığı, eğrinin altındaki bir aralığın alanıyla hesaplarız. Örneğin “499,5 ile 500,5 gram arasında” pozitif olasılığa sahip bir aralıktır.

Tartının 500 göstermesi çoğu zaman cihazın sonucu yuvarlamasıdır. Gerçek ölçüm 499,5 ile 500,5 arasındaysa ekranda 500 görülebilir. Bu yüzden günlük dildeki “500 gram” ile matematikte sonsuz hassasiyetteki tek nokta aynı olay değildir.

Daha derin bakış: Çan eğrisinin formülü

Normal dağılımın çan biçimini üreten yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

\((x-\mu)^2\), ölçümün merkezden uzaklığının karesidir. Uzaklık arttıkça üstel bölüm küçülür; eğrinin kuyrukları alçalır. Karesi alınan sağ ve sol uzaklıklar aynı yüksekliği verdiği için eğri simetriktir. Baştaki çarpan, eğrinin altındaki toplam alanı 1 yapar.

Yoğunluk yüksekliği tek başına olasılık değildir. Yoğunluk bazı dağılımlarda 1'den büyük bile olabilir; sorun değildir. Olasılık, iki sınır arasındaki alanın integralidir:

Önceki İntegral yazısında bir alanı küçük parçaları toplayarak bulmuştuk. Burada aynı alan bir aralığın olasılığıdır.

Normal dağılımı her yerde aramayalım

Normal dağılım negatif sonsuza kadar uzanır. Bu yüzden yalnızca pozitif olabilen gelir, bekleme süresi veya dosya boyutu gibi güçlü biçimde sağa çarpık değerlerde kötü bir model olabilir. İki farklı makinenin üretimi karışmışsa tek çan yerine iki tepe oluşabilir. Çok sık uç değer üreten süreçlerde Normal dağılım kuyruk riskini küçümseyebilir.

Merkezî limit teoremi, uygun koşullarda çok sayıda bağımsız katkının toplamının veya ortalamasının yaklaşık Normal davranabileceğini söyler. Tek tek gözlemlerin de Normal dağılması gerekmez. Bu fikri ileride Çıkarımsal İstatistik yazısında örneklem ortalamalarıyla yeniden ele alacağız.

Bir yapay zekâ modelinin tahmin hatalarının Normal dağıldığını varsayarsak kareli hatayı eğitim ölçüsü olarak kullanabiliriz. Hata iki katına çıktığında karesi dört katına çıkar. Veri çarpıksa, aykırı değerler çoksa veya belirsizlik girdiye göre değişiyorsa bu varsayım ve kareli hata uygun olmayabilir.

Dağılımı Okumanın Üç Yolu

Bernoulli, Poisson ve Normal örneklerinde olasılığı üç farklı biçimde okuduk. Bu biçimlerin adları olasılık kütle fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu ve birikimli dağılım fonksiyonudur.

1. Olasılık kütle fonksiyonu: Tam olarak bu kesikli sonuç

Bernoulli ve Poisson gibi kesikli dağılımlarda “tam \(x\) olasılığı nedir?” sorusuna olasılık kütle fonksiyonu (probability mass function, PMF) cevap verir. \(P(X=2)\) ifadesi, tam 2 sipariş olasılığıdır. Bütün mümkün değerlerin olasılıkları toplandığında 1 elde edilir.

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu: Bu sürekli aralıktaki alan

Normal dağılım gibi sürekli dağılımlarda eğrinin adı olasılık yoğunluk fonksiyonudur (probability density function, PDF). Eğrinin belirli bir noktadaki yüksekliği doğrudan o noktanın olasılığı değildir. Olasılık, istediğimiz aralığın altında kalan alandır.

3. Birikimli dağılım fonksiyonu: Bu değere kadar ne kadar birikti?

Kesikli ya da sürekli her dağılımda “\(x\)'e kadar olan sonuçların toplam olasılığı nedir?” diye sorabiliriz. Buna birikimli dağılım fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) denir:

Poisson örneğinde \(F(2)\), 0, 1 ve 2 sipariş olasılıklarının toplamıydı ve yaklaşık \(0{,}6767\) bulmuştuk. CDF'yi, soldan başlayıp olasılıkları biriktiren bir sayaç gibi düşünebiliriz. Hiç azalmaz; en sonunda 1'e yaklaşır.

Okuma biçimi	Sorduğu soru	Nerede kullanılır?
PMF	Tam olarak bu kesikli sonuç mu?	Bernoulli, Poisson
PDF	Bu sürekli aralıkta ne kadar alan var?	Normal ve diğer sürekli dağılımlar
CDF	Bu değere kadar toplam ne kadar olasılık birikti?	Bütün dağılımlar

Hangi Dağılımı Seçmeliyiz?

Dağılım seçerken önce verinin nasıl oluştuğuna bakalım:

1. Tek bir deneme ve iki sonuç mu var? Evetse Bernoulli iyi bir başlangıç adayıdır.
2. Belirli bir aralıktaki olayları mı sayıyoruz? Sonuçlar 0, 1, 2, ... biçimindeyse ve olay hızı yaklaşık sabitse Poisson düşünülebilir.
3. Sürekli bir ölçüm, simetrik tek merkez çevresinde mi değişiyor? Birçok küçük etkinin birleşimi söz konusuysa Normal dağılım düşünülebilir.
4. Varsayımlar hikâyeye uymuyor mu? Dağılımı zorlamayın. Gerçek problemlerde Binom, Üstel, Gamma, Negatif Binom ve daha birçok model vardır.

Sonra seçtiğimiz modeli veriyle karşılaştırırız. Gözlenen frekanslar ve histogramın yanı sıra ortalama ile yayılım arasındaki ilişki, sıfırların sayısı, simetri ve kuyruklar modelin nerede aksadığını gösterebilir. Modelin her ayrıntıyı kopyalaması gerekmez; sorduğumuz soru için önemli örüntüleri yeterince iyi açıklamalıdır.

Yapay Zekâ Bir Sayıdan Fazlasına Neden İhtiyaç Duyar?

Bir sistem “yarın 120 çağrı gelecek” dediğinde tahminin ne kadar belirsiz olduğunu bilemeyiz. Olası çağrı sayılarına bir dağılım verirse 120'nin en olası değer olup olmadığını ve 150'yi aşma riskini hesaplayabiliriz. Personel planında ne kadar pay bırakacağımıza da bu sonuçlarla karar veririz.

Yapay zekâ sistemleri dağılımları birkaç amaçla kullanır:

• Tahmin: İkili hedef için Bernoulli, olay sayısı için Poisson, sürekli hata için Normal gibi bir veri modeli seçilir.
• Öğrenme: Modelin gözlenen veriye yüksek olasılık vermesini sağlayan parametreler aranır. Bu düşünce kayıp fonksiyonlarının önemli bir bölümünün temelidir.
• Belirsizlik: Tek bir tahmin yerine sonuçların ne kadar yayılabileceği gösterilir. Böylece yüksek riskli kuyruklar görünür olur.
• Üretim ve örnekleme: Dil modeli gibi üretken sistemler olası sonraki parçalar üzerinde bir dağılım kurar; ardından bu dağılımdan seçim yapar. En yüksek olasılıklı parçayı seçmek ile dağılımdan rastgele örneklemek farklı davranışlar üretir.

Dil modelinin yüksek olasılık verdiği bir sonraki kelime akıcı bir cümle kurabilir; cümlenin anlattığı bilgi yine de yanlış olabilir. Dağılım, modelin seçeneklere verdiği ağırlıkları gösterir. Dış dünyaya ilişkin doğruluğu ayrıca kontrol etmemiz gerekir.

Sık Yapılan Kavram Hataları

• “Olasılığı en yüksek sonuç kesin gerçekleşir” demek: En yüksek olasılık bile yüzde 100'den küçükse başka sonuçlar mümkündür.
• Ortalama sayıyı her aralığın sonucu sanmak: Poisson modelinde \(\lambda=2\), her on dakikada tam 2 olay demek değildir.
• Yoğunluk yüksekliğini olasılık sanmak: Sürekli dağılımda olasılık eğrinin altındaki alandır; tek noktanın olasılığı sıfırdır.
• Her çan benzeri veriyi Normal kabul etmek: Kuyruklar, çarpıklık, alt gruplar ve fiziksel sınırlar ayrıca incelenmelidir.
• Bernoulli ile çoklu denemeyi karıştırmak: Bernoulli tek bir 0–1 denemesidir; birçok denemedeki başarı sayısı farklı bir dağılım gerektirir.
• Poisson'da birimi unutmak: \(\lambda\) mutlaka “hangi zaman, alan veya uzunluk için?” sorusuyla birlikte okunmalıdır.
• Model çıktısını doğruluk sanmak: Bir yapay zekânın verdiği olasılık, ham skor, karar ve gerçek dünyanın sonucu aynı şey değildir.
• Dağılımı veriye zorla uydurmak: Matematiksel hesap hatasız olsa bile veri üretim süreci varsayımlara uymuyorsa sonuç yanıltıcıdır.

Bir Dağılım Sorununu Okurken Kısa Yol Haritası

1. Rastgele olan büyüklüğü gündelik bir cümleyle söyleyin.
2. Mümkün sonuçları yazın: iki sonuç, sayım veya sürekli ölçüm?
3. Aralığı ve birimi belirleyin: dakika, gün, metre, gram?
4. Dağılımın parametresini anlamıyla okuyun: \(p\) başarı olasılığı, \(\lambda\) aralık başına ortalama sayım, \(\mu\) merkez ve \(\sigma\) yayılım.
5. Sorunun “tam”, “en fazla”, “en az” veya “iki değer arasında” ifadelerinden hangisini kullandığını bulun.
6. Tek olasılık mı, birkaç olasılığın toplamı mı, yoksa bir eğrinin altındaki alan mı gerektiğine karar verin.
7. Sonucu birimi ve bağlamıyla cümleye çevirin.
8. Model varsayımlarının gerçek sürece uyup uymadığını kontrol edin.

Sonuç: Belirsizliğin Biçimini Görmek

Bir dağılımı seçerken önce neyi gözlediğimizi sorarız. Tek bir evet–hayır sonucu için Bernoulli, belli bir aralıktaki olay sayısı için Poisson, merkez çevresinde değişen sürekli bir ölçüm içinse koşullar uygunsa Normal dağılım kullanabiliriz. Bernoulli'de \(p\) seçtiğimiz 1 sonucunun olasılığıdır; Poisson'da \(\lambda\) aralıktaki ortalama olay sayısını, Normal dağılımda \(\mu\) merkezi ve \(\sigma\) yayılımı gösterir.

Kesikli sonuçların olasılıklarını tek tek bulup toplayabiliriz. Sürekli ölçümlerde ise tek noktanın olasılığı yerine bir aralığın eğri altında kalan alanını hesaplarız. PMF, PDF ve CDF bu iki tür dağılımı farklı sorularla okumamıza yardım eder. Hangi modeli kullanırsak kullanalım, sonuçların türünü, birimini ve dağılımın varsayımlarını gerçek süreçle karşılaştırmalıyız.

Dağılım, olası sonuçlara ne kadar ağırlık verdiğimizi gösterdiğine göre onu birkaç sayıyla da özetleyebiliriz. Bir oyunu uzun süre oynarsak ortalama kazancımız ne olur? Aynı ortalamaya sahip iki seçenekten biri neden daha riskli olabilir? Bir sonraki Beklenen Değer ve Varyans yazısında dağılımın merkezini ve yayılımını hesaplayacağız.

Yazar: Levent KARAGÖL