Olasılık dağılımı, henüz gerçekleşmemiş bir olayın bütün makul sonuçlarını ve her sonuca ne kadar ihtimal verdiğimizi gösteren bir haritadır. Bir müşterinin satın alıp almayacağı, on dakikada kaç çağrı geleceği veya bir paketin kaç gram çıkacağı aynı tür belirsizlikler değildir; bu yüzden onları farklı dağılımlarla anlatırız. Bu makalede Bernoulli, Poisson ve Normal dağılımlarını gündelik durumlar üzerinden kuracak, formüllerin hangi soruya cevap verdiğini adım adım görecek ve yapay zekâ sistemlerinin bu haritaları nasıl kullandığını inceleyeceğiz.

Üç Gündelik Soru, Üç Farklı Belirsizlik

Küçük bir çevrim içi mağaza işlettiğimizi düşünelim. Güne başlarken cevabını henüz bilmediğimiz üç sorumuz var:

1. Siteye gelen sıradaki ziyaretçi satın alma yapacak mı?
2. Önümüzdeki on dakikada kaç sipariş gelecek?
3. Paketleme makinesinden çıkan kahve paketi kaç gram olacak?

Birinci sorunun yalnızca iki cevabı vardır: evet veya hayır. İkinci sorunun cevabı bir sayımdır: 0, 1, 2, 3 ve böyle devam eder. Üçüncü sorunun cevabı ise bir ölçümdür: 499 gram, 500,2 gram, 501,07 gram gibi aradaki değerleri de alabilir.

İşte Bernoulli, Poisson ve Normal dağılımlarının ayrıldığı yer burasıdır. Bernoulli iki sonuçlu tek bir olayı, Poisson belirli bir aralıktaki olay sayısını, Normal dağılım ise bir merkezin çevresinde değişen sürekli ölçümleri anlatmak için adaydır. “Adaydır” sözcüğü önemlidir: Bir dağılım gerçek dünyanın kendisi değil, gerçek dünyayı belirli koşullar altında sadeleştiren bir modeldir.

Olasılık Dağılımı Bir İhtimal Haritasıdır

Önceki Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi yazısında belirli bir olayın olasılığını hesapladık ve yeni kanıt geldiğinde bu olasılığın nasıl değiştiğini gördük. Şimdi tek bir olaya değil, mümkün olan sonuçların tamamına bakacağız.

Bir zar için yalnızca “4 gelme olasılığı nedir?” diye sorarsak tek bir olayı inceleriz. Oysa 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sonuçlarının her birine ne kadar olasılık verildiğini birlikte yazarsak zarın olasılık dağılımını elde ederiz. Adil bir zarda bu altı sonucun her biri \(1/6\) pay alır. Bütün payların toplamı 1, yani yüzde 100 olmalıdır.

Bu düşünceyi bir bütçeye benzetebiliriz. Elimizde toplam yüzde 100'lük bir olasılık bütçesi vardır. Dağılım, bu bütçenin mümkün sonuçlar arasında nasıl paylaştırıldığını gösterir. Bazı sonuçlar büyük, bazıları küçük pay alabilir; fakat negatif pay olamaz ve toplam bütçe yüzde 100'ü aşamaz.

Sonucu gerçekleşmeden önce adlandırmak için büyük \(X\) harfini kullanalım. Bu harfe rastgele değişken (random variable) denir. Adı göz korkutmasın: \(X\), sonucu henüz bilinmeyen sayıya taktığımız etikettir. Sonuç ortaya çıktığında gördüğümüz belirli değeri küçük \(x\) ile gösterebiliriz. Örneğin “önümüzdeki on dakikadaki sipariş sayısı” \(X\), gerçekten 3 sipariş gelmesi ise \(x=3\) olur.

Bir dağılımı okurken üç soruyu sormak yeterli bir başlangıçtır:

• Hangi sonuçlar mümkün? Yalnızca 0 ve 1 mi, yoksa 0'dan başlayan sayımlar mı, yoksa bir ölçüm aralığındaki bütün değerler mi?
• Olasılık nerede yoğunlaşıyor? Hangi sonuçlar daha sık, hangileri daha seyrek bekleniyor?
• Dağılımın biçimini hangi sayılar belirliyor? Bir başarı olasılığı mı, ortalama olay sayısı mı, merkez ve yayılım mı?

Saymak ile Ölçmek Aynı Şey Değildir

Sipariş sayısını sayarken 0'dan 1'e, 1'den 2'ye basamaklarla ilerleriz. 1,4 sipariş gelmez. Böyle tek tek sayılabilen sonuçlara kesikli (discrete) deriz. Bernoulli ve Poisson dağılımları kesiklidir.

Paket ağırlığını ölçerken durum değişir. Yeterince hassas bir tartı 500 ile 501 gram arasında 500,1; 500,12; 500,123 gibi daha birçok değer gösterebilir. Sonuçlar sayı doğrusundaki bir aralığı doldurur. Böyle ölçümlere sürekli (continuous) deriz. Normal dağılım süre, ağırlık ve ölçüm hatası gibi sürekli nicelikler için sık kullanılan bir modeldir.

Soru	Sonuç türü	Mümkün değerlere örnek	Uygun aday
Ziyaretçi satın alacak mı?	İki sonuçlu	0 veya 1	Bernoulli
On dakikada kaç sipariş gelecek?	Kesikli sayım	0, 1, 2, 3, ...	Poisson
Paket kaç gram gelecek?	Sürekli ölçüm	499,8; 500; 500,14; ...	Normal

Bernoulli Dağılımı: Oldu mu, Olmadı mı?

Sıradaki ziyaretçinin satın alma yapıp yapmayacağını düşünelim. Satın alma gerçekleşirse sonucu 1, gerçekleşmezse 0 ile gösterelim. Geçmişte benzer ziyaretçilerin yüzde 30'u satın alma yapmış olsun. Bu durumda:

Sonuç	Anlamı	Olasılık
\(X=1\)	Satın alma gerçekleşti	\(p=0{,}30\)
\(X=0\)	Satın alma gerçekleşmedi	\(1-p=0{,}70\)

İki sonuçlu tek bir denemeyi bu şekilde modelleyen dağılıma Bernoulli dağılımı denir. \(p\), 1 diye adlandırdığımız sonucun olasılığıdır. Hangi sonucu 1 seçtiğimizi mutlaka söylemeliyiz; tıbbi bir testte 1 “hastalık var”, bir kalite kontrolünde 1 “ürün hatalı” anlamına gelebilir.

Tablo, dağılımı anlamak için yeterlidir. Aynı iki satırı tek formülde göstermek istersek:

Formülü ezberlemek yerine iki değeri deneyelim. \(x=1\) olduğunda \(p^1(1-p)^0=p\) kalır. \(x=0\) olduğunda \(p^0(1-p)^1=1-p\) kalır. Üsler burada birer açma-kapama düğmesi gibi davranarak tablodaki doğru satırı seçer.

\(p=0{,}30\) demek, tek bir ziyaretçinin yüzde 30'u satın alacak demek değildir. O ziyaretçi ya alır ya almaz. Yüzde 30, aynı koşullardaki çok sayıda ziyaretçi düşünüldüğünde satın alma gerçekleşmesini ne sıklıkta beklediğimizi anlatır. On ziyaretçi geldiğinde kaçının satın alacağını sormak ise artık tek Bernoulli denemesi değil, birden çok Bernoulli denemesinin toplamıdır; bu daha geniş soru Binom dağılımına götürür.

Yapay zekâda Bernoulli nerede karşımıza çıkar?

Spam–spam değil, sahtekârlık–normal veya tıklar–tıklamaz gibi ikili sınıflandırma görevlerinde gerçek etiket çoğu zaman 0 ya da 1'dir. Model ise önce 0 ile 1 arasında bir sayı üretebilir. Örneğin 0,80 çıktısı, model iyi kalibre edilmişse benzer örneklerin yaklaşık yüzde 80'inde 1 sonucunun görülmesi beklentisi olarak yorumlanabilir.

Fakat dört şeyi birbirine karıştırmamalıyız: modelin ham skoru, 0 ile 1 arasına dönüştürülmüş çıktısı, gerçekten kalibre edilmiş olasılığı ve eşik uygulanınca seçilen 0–1 kararı aynı şey değildir. Üstelik modelin yüzde 80 demesi, cevabın doğru olduğunu kanıtlamaz. Bu yalnızca modelin belirsizliği nasıl ifade ettiğidir; gerçek sonuç sonradan görülür.

Poisson Dağılımı: Kaç Kez Oldu?

Şimdi mağazaya on dakikada kaç sipariş geldiğini sayalım. Uzun dönem kayıtlarında on dakikalık bir aralıkta ortalama 2 sipariş gördüğümüzü varsayalım. Bazen hiç sipariş gelmeyebilir, bazen 1 veya 2, daha seyrek olarak 5 ya da 6 sipariş gelebilir.

Belirli bir zaman, alan veya uzunluk içinde oluşan olay sayısını modelleyen dağılımlardan biri Poisson dağılımıdır. Dağılımı belirleyen \(\lambda\) harfine “lambda” denir. Bu sayı, seçtiğimiz aralıkta beklenen ortalama olay sayısını gösterir. Örneğimizde \(\lambda=2\) sipariş/10 dakika olur.

Lambda bir söz değildir. \(\lambda=2\), her on dakikada kesinlikle 2 sipariş geleceği anlamına gelmez; olası sayımların merkezini belirtir. Ayrıca birimi aralıkla birlikte yazılmalıdır. Dakikada 2 sipariş ile on dakikada 2 sipariş bambaşka yoğunluklardır.

Poisson dağılımında tam \(k\) olay görülme olasılığı şöyledir:

Burada \(k\), sorduğumuz olay sayısıdır; \(k!\), \(k\)'dan 1'e kadar sayıların çarpımıdır ve \(0!=1\) kabul edilir. \(e\) ise yaklaşık \(2{,}718\) değerine sahip matematiksel sabittir. Formülün her parçasını türetmeden de yaptığı işi okuyabiliriz: \(\lambda\), olası sayımları belirli bir merkezin çevresine yerleştirir; faktöriyel ise çok büyük sayıların olasılığının denetimsiz büyümesini engeller.

\(\lambda=2\) için ilk birkaç sonucu hesaplayalım. \(e^{-2}\approx0{,}1353\) değerini kullanacağız:

Buna göre hiç sipariş gelmeme olasılığı yaklaşık yüzde 13,5; tam 1 veya tam 2 sipariş gelme olasılıklarının her biri yaklaşık yüzde 27,1'dir. “En fazla 2 sipariş” dendiğinde 0, 1 ve 2 sonuçlarını birlikte toplarız:

Yani modelin koşulları uygunsa, on dakikalık aralıkların yaklaşık yüzde 67,7'sinde en fazla 2 sipariş bekleriz. Ortalama hızın sabit kaldığını varsayarsak aralığı değiştirebiliriz: On dakikada ortalama 2 sipariş, otuz dakikada ortalama 6 sipariş demektir. Yeni hesapta \(\lambda=6\) kullanırız.

Poisson modeli ne zaman hikâyeye uymaz?

Poisson modeli, olayların kabaca sabit bir ortalama hızla ve birbirini doğrudan tetiklemeden oluştuğu varsayımıyla anlamlıdır. Gerçek mağazada öğle kampanyası başlarsa sipariş hızı sabit kalmaz. Bir sipariş sosyal medyada başkalarını tetiklerse olaylar bağımsız davranmaz. Sistem arızası bütün siparişleri bir süre durdurursa sıfırlar normalden fazla görülür. Böyle durumlarda formül doğru hesap yapılsa bile yanlış hikâyeyi modelleyebilir.

Yapay zekâda Poisson fikri; çağrı, arıza, tıklama veya talep sayısı gibi sayım hedeflerinde kullanılır. Bir model “önümüzdeki saat kaç çağrı gelir?” sorusuna tek bir sayı vermek yerine her olası sayım için bir dağılım üretebilir. Böylece yalnızca en olası sonucu değil, personel planlamasında önemli olan “10'dan fazla çağrı gelme riski” gibi kuyruk olasılıklarını da hesaplayabiliriz.

Normal Dağılım: Bir Merkezin Çevresindeki Ölçümler

Kahve paketleme makinesini 500 grama ayarladığımızı düşünelim. Hiçbir dolum tam olarak aynı değildir. Çekirdeklerin yerleşimi, titreşim, nem ve tartının küçük ölçüm hataları sonucu biraz değiştirir. Çok sayıda küçük etki bazen yukarı, bazen aşağı yönde birleştiğinde ölçümlerin çoğu 500 gram çevresinde; merkezden uzak sonuçlar ise giderek daha seyrek görülebilir.

Bu tür simetrik, tek tepeli ve çan biçimli örüntüyü anlatan modele Normal dağılım denir. Dağılımı iki sayı belirler:

• \(\mu\) — “mü”: Dağılımın merkezi, yani uzun dönem ortalamasıdır.
• \(\sigma\) — “sigma”: Ölçümlerin merkez çevresinde ne kadar yayıldığını gösteren standart sapmadır. \(\sigma\) büyüdükçe çan yayvanlaşır; küçüldükçe ölçümler merkeze sıkışır.

Kısa gösterim şöyledir:

Bu ifade “\(X\), ortalaması \(\mu\) ve varyansı \(\sigma^2\) olan Normal dağılıma uyar” diye okunur. Parantezin ikinci yerine standart sapma \(\sigma\) değil, onun karesi olan varyans \(\sigma^2\) yazıldığına dikkat edelim.

Makinenin merkezinin \(\mu=500\) gram, standart sapmasının \(\sigma=4\) gram olduğunu varsayalım. Normal dağılımda pratik bir yaklaşık kural vardır:

• Ölçümlerin yaklaşık yüzde 68'i merkezin bir standart sapma çevresinde, yani 496 ile 504 gram arasında kalır.
• Yaklaşık yüzde 95'i iki standart sapma çevresinde, yani 492 ile 508 gram arasında kalır.
• Yaklaşık yüzde 99,7'si üç standart sapma çevresinde, yani 488 ile 512 gram arasında kalır.

Bu yüzde 68–95–99,7 kuralı her veri kümesinin kuralı değildir; Normal dağılımın özelliğidir. Teslimat süreleri sağa doğru uzuyorsa veya kullanıcılar iki ayrı gruba ayrılıyorsa sırf ortalama ve standart sapma hesapladık diye bu oranları kullanamayız.

Bir ölçüm merkezden ne kadar uzakta?

508 gramlık bir paketin sıra dışılığını kendi ölçeğimizde anlatmak için merkezden uzaklığı standart sapmaya böleriz. Elde edilen sayıya z-puanı denir:

Bizim paketimiz için:

Sonuç, paketin ortalamanın iki standart sapma üzerinde olduğunu söyler. Z-puanı yeni bir fiziksel ölçüm değildir; farklı ölçeklerdeki uzaklıkları ortak bir dille ifade eder. Negatif z-puanı merkezin altını, pozitif z-puanı üstünü gösterir.

Sürekli dağılımda neden “tam 500 gram” olasılığı sıfırdır?

Bu ifade ilk karşılaşmada tuhaf görünür. Tartı 500 gram gösterebilir; öyleyse olasılık nasıl sıfır olabilir? Çünkü kusursuz hassasiyette “tam 500,000000...” tek bir noktadır. Sürekli sayı doğrusunda tek noktanın genişliği yoktur. Olasılık, eğrinin yüksekliğinden değil bir aralığın altındaki alandan gelir. “499,5 ile 500,5 gram arasında” gibi genişliği olan bir aralık pozitif olasılık taşır.

Tartının 500 göstermesi çoğu zaman cihazın sonucu yuvarlamasıdır. Gerçek ölçüm 499,5 ile 500,5 arasındaysa ekranda 500 görülebilir. Bu yüzden günlük dildeki “500 gram” ile matematikte sonsuz hassasiyetteki tek nokta aynı olay değildir.

Daha derin bakış: Çan eğrisinin formülü

Normal dağılımın çan biçimini üreten yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

Formülün tamamını ezberlememiz gerekmiyor. \((x-\mu)^2\) terimi merkezden uzaklığı ölçer. Uzaklık büyüdükçe üstel bölüm küçülür ve çanın kuyruklarına gidilir. Kare kullanıldığı için merkezin sağındaki ve solundaki eşit uzaklıklar aynı yüksekliği alır; simetri buradan gelir. Baştaki çarpan ise eğrinin altındaki toplam alanı 1'e ayarlar.

Yoğunluk yüksekliği tek başına olasılık değildir. Yoğunluk bazı dağılımlarda 1'den büyük bile olabilir; sorun değildir. Olasılık, iki sınır arasındaki alanın integralidir:

Önceki İntegral yazısında öğrendiğimiz “küçük parçaları toplayarak alan bulma” fikri burada doğrudan olasılığa dönüşür.

Normal dağılımı her yerde aramayalım

Normal dağılım negatif sonsuza kadar uzanır. Bu yüzden yalnızca pozitif olabilen gelir, bekleme süresi veya dosya boyutu gibi güçlü biçimde sağa çarpık değerlerde kötü bir model olabilir. İki farklı makinenin üretimi karışmışsa tek çan yerine iki tepe oluşabilir. Çok sık uç değer üreten süreçlerde Normal dağılım kuyruk riskini küçümseyebilir.

Merkezî limit teoremi de “doğadaki her veri Normaldir” demez. Uygun koşullarda çok sayıda bağımsız katkının toplamı veya ortalaması yaklaşık Normal davranabilir. Bu güçlü fikri ileride Çıkarımsal İstatistik yazısında örneklem ortalamaları üzerinden ayrıntılı biçimde kullanacağız.

Yapay zekâda bir tahminin çevresindeki hataların Normal olduğu varsayılırsa kareli hata doğal bir eğitim ölçüsüne dönüşür: merkezden iki kat uzak hata, karesi nedeniyle dört kat ağırlık alır. Fakat veri çarpıksa, aykırı değerler fazlaysa veya belirsizlik girdi boyunca değişiyorsa Normal hata varsayımı ve kareli hata bütün hikâyeyi doğru anlatmayabilir.

Dağılımı Okumanın Üç Yolu

Artık somut örnekleri gördüğümüze göre üç teknik adı yerli yerine koyabiliriz. Bunlar üç ayrı dünya değil, aynı ihtimal haritasını farklı sorularla okuma yollarıdır.

1. Olasılık kütle fonksiyonu: Tam olarak bu kesikli sonuç

Bernoulli ve Poisson gibi kesikli dağılımlarda “tam \(x\) olasılığı nedir?” sorusuna olasılık kütle fonksiyonu (probability mass function, PMF) cevap verir. \(P(X=2)\) ifadesi, tam 2 sipariş olasılığıdır. Bütün mümkün değerlerin olasılıkları toplandığında 1 elde edilir.

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu: Bu sürekli aralıktaki alan

Normal dağılım gibi sürekli dağılımlarda eğrinin adı olasılık yoğunluk fonksiyonudur (probability density function, PDF). Eğrinin belirli bir noktadaki yüksekliği doğrudan o noktanın olasılığı değildir. Olasılık, istediğimiz aralığın altında kalan alandır.

3. Birikimli dağılım fonksiyonu: Bu değere kadar ne kadar birikti?

Kesikli ya da sürekli her dağılımda “\(x\)'e kadar olan sonuçların toplam olasılığı nedir?” diye sorabiliriz. Buna birikimli dağılım fonksiyonu (cumulative distribution function, CDF) denir:

Poisson örneğinde \(F(2)\), 0, 1 ve 2 sipariş olasılıklarının toplamıydı ve yaklaşık \(0{,}6767\) bulmuştuk. CDF'yi, soldan başlayıp olasılıkları biriktiren bir sayaç gibi düşünebiliriz. Hiç azalmaz; en sonunda 1'e yaklaşır.

Okuma biçimi	Sorduğu soru	Nerede kullanılır?
PMF	Tam olarak bu kesikli sonuç mu?	Bernoulli, Poisson
PDF	Bu sürekli aralıkta ne kadar alan var?	Normal ve diğer sürekli dağılımlar
CDF	Bu değere kadar toplam ne kadar olasılık birikti?	Bütün dağılımlar

Hangi Dağılımı Seçmeliyiz?

Dağılım seçimi, grafiğin hangi şekle benzediğine bakıp etiket yapıştırmaktan ibaret değildir. Önce veriyi üreten sürecin hikâyesiyle başlamalıyız:

1. Tek bir deneme ve iki sonuç mu var? Evetse Bernoulli iyi bir başlangıç adayıdır.
2. Belirli bir aralıktaki olayları mı sayıyoruz? Sonuçlar 0, 1, 2, ... biçimindeyse ve olay hızı yaklaşık sabitse Poisson düşünülebilir.
3. Sürekli bir ölçüm, simetrik tek merkez çevresinde mi değişiyor? Birçok küçük etkinin birleşimi söz konusuysa Normal dağılım düşünülebilir.
4. Varsayımlar hikâyeye uymuyor mu? Dağılımı zorlamayın. Gerçek problemlerde Binom, Üstel, Gamma, Negatif Binom ve daha birçok model vardır.

Sonra modeli veriyle karşılaştırırız. Gözlenen frekanslar, histogram, ortalama–yayılım ilişkisi, sıfırların sayısı, simetri ve kuyruklar seçtiğimiz dağılımın nerede başarısız olduğunu gösterebilir. İyi bir model bütün ayrıntıları kopyalamak zorunda değildir; cevaplamak istediğimiz soru için önemli örüntüleri yeterince doğru taşımalıdır.

Yapay Zekâ Bir Sayıdan Fazlasına Neden İhtiyaç Duyar?

Bir sistem yalnızca “yarın 120 çağrı gelecek” derse bu sayının ne kadar belirsiz olduğunu bilemeyiz. Oysa olası çağrı sayılarına bir dağılım atarsa 120'nin en olası değer olup olmadığını, 150'yi aşma riskini ve personel planının hangi güvenlik payına ihtiyaç duyduğunu hesaplayabiliriz.

Dağılımlar yapay zekâda en az dört somut görev üstlenir:

• Tahmin: İkili hedef için Bernoulli, olay sayısı için Poisson, sürekli hata için Normal gibi bir veri modeli seçilir.
• Öğrenme: Modelin gözlenen veriye yüksek olasılık vermesini sağlayan parametreler aranır. Bu düşünce kayıp fonksiyonlarının önemli bir bölümünün temelidir.
• Belirsizlik: Tek bir tahmin yerine sonuçların ne kadar yayılabileceği gösterilir. Böylece yüksek riskli kuyruklar görünür olur.
• Üretim ve örnekleme: Dil modeli gibi üretken sistemler olası sonraki parçalar üzerinde bir dağılım kurar; ardından bu dağılımdan seçim yapar. En yüksek olasılıklı parçayı seçmek ile dağılımdan rastgele örneklemek farklı davranışlar üretir.

Bir dağılımın en olası sonucunu seçmek, o sonucun gerçek veya doğru olduğunu garanti etmez. Dil modelinde yüksek olasılıklı bir sonraki kelime akıcı olabilir ama ifade edilen bilgi yanlış olabilir. Olasılık, modelin seçenekler arasındaki tercih yapısını anlatır; dış dünyadaki doğruluk ayrıca doğrulanmalıdır.

Sık Yapılan Kavram Hataları

• “Olasılığı en yüksek sonuç kesin gerçekleşir” demek: En yüksek olasılık bile yüzde 100'den küçükse başka sonuçlar mümkündür.
• Ortalama sayıyı her aralığın sonucu sanmak: Poisson modelinde \(\lambda=2\), her on dakikada tam 2 olay demek değildir.
• Yoğunluk yüksekliğini olasılık sanmak: Sürekli dağılımda olasılık eğrinin altındaki alandır; tek noktanın olasılığı sıfırdır.
• Her çan benzeri veriyi Normal kabul etmek: Kuyruklar, çarpıklık, alt gruplar ve fiziksel sınırlar ayrıca incelenmelidir.
• Bernoulli ile çoklu denemeyi karıştırmak: Bernoulli tek bir 0–1 denemesidir; birçok denemedeki başarı sayısı farklı bir dağılım gerektirir.
• Poisson'da birimi unutmak: \(\lambda\) mutlaka “hangi zaman, alan veya uzunluk için?” sorusuyla birlikte okunmalıdır.
• Model çıktısını doğruluk sanmak: Bir yapay zekânın verdiği olasılık, ham skor, karar ve gerçek dünyanın sonucu aynı şey değildir.
• Dağılımı veriye zorla uydurmak: Matematiksel hesap hatasız olsa bile veri üretim süreci varsayımlara uymuyorsa sonuç yanıltıcıdır.

Bir Dağılım Sorununu Okurken Kısa Yol Haritası

1. Rastgele olan büyüklüğü gündelik bir cümleyle söyleyin.
2. Mümkün sonuçları yazın: iki sonuç, sayım veya sürekli ölçüm?
3. Aralığı ve birimi belirleyin: dakika, gün, metre, gram?
4. Dağılımın parametresini anlamıyla okuyun: \(p\) başarı olasılığı, \(\lambda\) aralık başına ortalama sayım, \(\mu\) merkez ve \(\sigma\) yayılım.
5. Sorunun “tam”, “en fazla”, “en az” veya “iki değer arasında” ifadelerinden hangisini kullandığını bulun.
6. Tek olasılık mı, birkaç olasılığın toplamı mı, yoksa bir eğrinin altındaki alan mı gerektiğine karar verin.
7. Sonucu birimi ve bağlamıyla cümleye çevirin.
8. Model varsayımlarının gerçek sürece uyup uymadığını kontrol edin.

Sonuç: Belirsizliğin Biçimini Görmek

Bu makalede olasılık dağılımını soyut bir formül listesi olarak değil, yüzde 100'lük olasılık bütçesinin mümkün sonuçlar arasında nasıl paylaştırıldığını gösteren bir harita olarak ele aldık. Önce sorunun biçimini ayırdık: Tek bir evet–hayır sonucu Bernoulli'ye, belirli bir aralıktaki olay sayısı Poisson'a, bir merkez çevresindeki sürekli ölçüm ise koşullar uygunsa Normal dağılıma götürdü.

Bernoulli örneğinde \(p\)'nin tek denemedeki 1 sonucuna verilen olasılık olduğunu; Poisson örneğinde \(\lambda\)'nın aralık başına ortalama olay sayısını gösterdiğini; Normal dağılımda ise \(\mu\)'nün merkezi, \(\sigma\)'nın yayılımı belirlediğini gördük. Kesikli sonuçlarda olasılığı doğrudan topladık, sürekli ölçümlerde olasılığın tek bir nokta değil aralık altındaki alan olduğunu ayırdık. PMF, PDF ve CDF adlarını da ancak bu üç okuma biçimi somutlaştıktan sonra yerlerine koyduk.

En önemli zihinsel model şudur: Dağılım, ne olacağını kesin olarak söylemez; hangi sonuçların mümkün olduğunu ve belirsizliğin bu sonuçlar arasında nasıl paylaşıldığını söyler. Modeli seçerken formülün güzelliğinden önce gerçek sürecin hikâyesine, birimine ve varsayımlarına bakarız.

Şimdi dağılımın tamamını görebiliyoruz; fakat onu birkaç anlamlı sayıyla özetlemek istiyoruz. Bir oyunu uzun süre oynarsak ortalama kazancımız ne olur? İki dağılım aynı merkeze sahipken biri neden daha riskli olabilir? Bir sonraki Beklenen Değer ve Varyans yazısında dağılımın merkezini ve yayılımını adım adım hesaplayarak bu sorulara geçeceğiz.

Yazar: Levent KARAGÖL