10. Türev

16 Ağustos 2026

28 dakika

172 görüntüleme

Bir araç tam şu anda ne kadar hızlı gidiyor? Bir grafiğin belirli bir noktadaki eğimi nedir? Türev, bir büyüklüğün o anda hangi yönde ve ne hızla değiştiğini göstererek bu soruları yanıtlamamızı sağlar. Yapay zekâda da modelin hatasını azaltmak için ayarların hangi yönde değiştirilmesi gerektiğini anlamamıza yardımcı olur. Bu makalede günlük örneklerle ortalama değişimden anlık değişime adım adım geçeceğiz. Ardından türevin limit ve teğetle ilişkisini, temel hesaplama kurallarını, türevlenemeyen durumları ve yapay zekâdaki rolünü inceleyeceğiz.

Bir Sonucu Bilmek Neden Her Zaman Yetmez?

Fonksiyonlar girdileri çıktılara dönüştürür; grafikler bu dönüşümün nasıl değiştiğini gösterir. Örneğin $f(x)=x^2$ için $x=3$ yazdığımızda sonuç $9$'dur.

Bir noktadaki sonucu bilsek bile, yakınındaki girdilerde sonucun artıp azaldığını ve ne hızla değiştiğini ayrıca sorabiliriz.

Bir otomobilin kilometre sayacı bize başlangıçtan beri ne kadar yol aldığını söyleyebilir. Hız göstergesi ise farklı bir soruyu cevaplar: Otomobil tam şu anda ne kadar hızlı gidiyor? Benzer biçimde bir şirketin aylık satışını bilmek ile satışların o sırada yükselip düşme hızını bilmek aynı şey değildir.

Türev, çıktıdaki değişimi girdideki değişimle karşılaştırarak fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim hızını ve yönünü verir.

Önce iki nokta arasındaki değişimi ölçeceğiz. Sonra Limit makalesindeki yaklaşma fikriyle noktalar arasındaki aralığı daraltacağız.

Ortalama Değişim Nasıl Hesaplanır?

Bir araç iki saatte 120 kilometre yol almış olsun. Ortalama hızını, toplam yolu toplam zamana bölerek buluruz:

$$ \text{Ortalama hız} =\frac{\text{Alınan yol}}{\text{Geçen zaman}} =\frac{120\ \text{km}}{2\ \text{saat}} =60\ \text{km/saat} $$

Bu sonuç, aracın yolculuğun her anında 60 kilometre/saat hızla gittiğini göstermez. Araç kırmızı ışıkta durmuş, daha sonra 90 kilometre/saat hıza çıkmış olabilir. Hesap yalnızca bütün yolculuğu tek bir sayıyla özetler.

Aracın 10 saniyede kaç metre gittiğini ölçüp aynı hesabı yaparsak anlık hızı bulmuş olur muyuz?

$$ \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} $$

Bu hesap 10 saniyelik ortalama hızı verir. Zaman aralığını küçülttükçe anlık hıza yaklaşırız; aralığı sıfır yaparsak payda da sıfır olur. Limit, aralığı sıfır yapmadan ona yaklaşmamızı sağlar.

İki Noktadan Tek Bir Ana

$f(x)=x^2$ formülünde $x=2$ anındaki değişim oranını bulmak istiyoruz diyelim.

Ortalama değişim oranı için iki farklı nokta gerekir. $x=2$ noktasındaki değişimi aradığımızdan ikinci noktayı $2+h$ olarak yazalım. $h$, iki girdi arasındaki farktır; sıfırdan farklı seçip giderek küçültebiliriz.

$f(x)=x^2$ için $x=2$ ile $x=2+h$ arasındaki ortalama değişim oranı:

$$ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} $$

olur. Farklı $h$ değerlerini deneyelim:

$h$	İkinci nokta	Ortalama değişim oranı
1	3	5
0,5	2,5	4,5
0,1	2,1	4,1
0,01	2,01	4,01
-0,1	1,9	3,9
-0,01	1,99	3,99

İkinci noktayı $2$'ye yaklaştırdıkça oran $4$'e yaklaşıyor. Sağdan gelirken 4,1; 4,01; 4,001 gibi değerler, soldan gelirken 3,9; 3,99; 3,999 gibi değerler elde ederiz. İki taraf da aynı hedefe yönelir.

$h=0$ yazarsak iki nokta çakışır ve payda sıfır olur. $h$'yi sıfırdan farklı tutup sıfıra yaklaştırarak oranın hangi değere yöneldiğini inceleriz.

Türevin Limit ile Tanımı

Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x$ noktasındaki türevini şöyle tanımlarız:

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Bu ifadeyi “f'nin x noktasındaki türevi; h sıfıra yaklaşırken $f(x+h)-f(x)$ farkının h'ye bölümünün limitidir” diye okuyabiliriz.

$x$, değişim hızını öğrenmek istediğimiz girdidir.
$h$, girdiye eklediğimiz küçük değişimdir.
$f(x+h)-f(x)$, çıktıda oluşan değişimdir.
Bu farkı $h$'ye bölmek, çıktı değişimini girdi değişimi başına ölçer.
$h\to0$ limiti, iki noktayı birleştirerek anlık değişime ulaşmamızı sağlar.

Türevin var olması için bu limitin sonlu ve tek bir değere ulaşması gerekir. Sağdan ve soldan hesaplanan değişim oranları farklıysa o noktada tek bir türev yoktur.

Belirli bir $x=a$ noktasındaki türevi doğrudan göstermek istersek aynı tanımı şöyle de yazabiliriz:

$$ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

İki gösterim aynı fikri anlatır. İlkinde $a$'dan $a+h$'ye, ikincisinde $a$'dan yakın bir $x$'e gideriz.

Sekant Doğrusundan Teğet Doğrusuna

Türevin geometrik anlamı, Analitik Düzlem makalesinde öğrendiğimiz eğim fikrinden doğar. Bir eğri üzerinde iki farklı noktayı birleştiren doğruya sekant doğrusu denir.

Bir eğri üzerindeki iki noktadan geçen sekant doğrusu

Sekantın eğimi, iki nokta arasındaki ortalama değişim oranıdır:

$$ m_{\text{sekant}}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

İkinci noktayı birinci noktaya yaklaştırdığımızda sekant doğrusu yavaş yavaş yön değiştirir.

İkinci nokta yaklaştıkça sekant doğrusunun yön değiştirmesi

İki nokta arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşırken sekantların eğimi tek bir değere yaklaşıyorsa, sınırda eğriye o noktada en iyi uyan doğruyu elde ederiz. Buna teğet doğrusu denir.

Eğriye tek bir noktada dokunan teğet doğrusu

Türevi üç biçimde yorumlayabiliriz:

Sayısal yorum: Anlık değişim oranı.
Geometrik yorum: Teğet doğrusunun eğimi.
Uygulamalı yorum: Girdideki çok küçük bir değişikliğin çıktıyı ne kadar etkileyeceği.

Türevi Tanımından Hesaplayalım

$f(x)=x^2$ fonksiyonunun türevini doğrudan tanımdan bulalım:

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$f(x)=x^2$ olduğuna göre $f(x+h)$, fonksiyondaki her $x$ yerine $x+h$ yazılarak bulunur:

$$ f(x+h)=(x+h)^2 $$

İki fonksiyon değerinin farkını türev tanımına yerleştirelim:

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{h(2x+h)}{h}. \end{aligned} $$

Bu aşamada $h$ henüz sıfır değildir; yalnızca sıfıra yaklaşmaktadır. Bu nedenle pay ve paydadaki $h$'leri sadeleştirebiliriz:

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}(2x+h)\\ &=2x. \end{aligned} $$

Sonuç $2x$, yani her $x$ için bir değişim oranı veren yeni bir fonksiyondur:

$$ f(x)=x^2 \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x)=2x $$

Örneğin $f'(2)=4$, $x=2$ noktasındaki eğimin 4 olduğunu; $f'(-2)=-4$, $x=-2$ noktasında grafiğin sağa doğru ilerlerken azaldığını söyler. $f'(0)=0$ olduğunda teğet yataydır.

Sadeleştirmeden önce $h=0$ yazmak doğru değildir. Önce $h\ne0$ iken ortak çarpanı sadeleştirir, ancak bundan sonra $h$'nin sıfıra yaklaşırken oluşturduğu limiti hesaplarız.

Bir Noktadaki Değer ile Türev Fonksiyonu

$f'(x)=2x$ ifadesi bir türev fonksiyonudur. Hangi $x$ değerini verirsek asıl fonksiyonun o noktadaki değişim oranını döndürür. Buna karşılık $f'(2)=4$ yalnızca belirli bir noktadaki türev değeridir.

Bu ayrımı teğet denklemiyle somutlaştıralım. $y=x^2$ eğrisine $x=2$ noktasında teğet olan doğruyu arıyoruz. Eğri üzerindeki nokta $(2,4)$, teğetin eğimi ise $f'(2)=4$'tür.

Nokta-eğim denkleminde bu değerleri kullanalım:

$$ \begin{aligned} y-y_1&=m(x-x_1)\\ y-4&=4(x-2)\\ y&=4x-4. \end{aligned} $$

$y=4x-4$ doğrusu, $y=x^2$ eğrisine $(2,4)$ noktasında teğettir. Bu noktadaki türev değeri 4, doğrunun eğimidir.

Türev İçin Kullanılan Gösterimler

Aynı türev farklı kaynaklarda birkaç biçimde gösterilebilir:

Gösterim	Anlamı
$f'(x)$	Lagrange gösterimi; “f türev x” veya “f prime x” diye okunur.
$\dfrac{dy}{dx}$	$y$'nin $x$'e göre değişim oranını vurgular.
$\dfrac{d}{dx}f(x)$	“$f(x)$'in $x$'e göre türevini al” işlemini gösterir.
$D_xf(x)$	Türev işlemini $D$ harfiyle gösterir.

$dy/dx$ görünüş olarak kesre benzese de türevin temel tanımı bir limittir. Bazı hesaplarda kesir gibi davranan yararlı bir gösterim sunar; fakat her durumda iki sıradan sayıyı bölüyormuşuz gibi düşünmek hataya yol açabilir.

Temel Kuralların Arkasındaki Fikir

Türevi her seferinde limit tanımından hesaplayabiliriz, ama işlem uzar. Türev kuralları bu hesabın tekrar eden adımlarını kısaltır.

Sabit Fonksiyon

$f(x)=5$ fonksiyonu, girdi ne olursa olsun aynı çıktıyı verir. Grafiği yatay bir doğrudur; değişim olmadığı için türevi sıfırdır:

$$ \frac{d}{dx}c=0 $$

Buradaki $c$, herhangi bir sabit sayıdır.

Sabit Katsayı, Toplama ve Çıkarma

Bir fonksiyonun bütün çıktılarını 3 ile çarparsak, çıktılardaki değişim de 3 katına çıkar. Bu nedenle sabit katsayı türevin önünde kalır. Toplanan veya çıkarılan fonksiyonların değişimleri de ayrı ayrı toplanıp çıkarılabilir:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}[c f(x)]&=c f'(x),\\ \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]&=f'(x)+g'(x),\\ \frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]&=f'(x)-g'(x). \end{aligned} $$

Örneğin:

$$ \begin{aligned} f(x)&=3x^4-2x^2+5x-7,\\ f'(x)&=12x^3-4x+5. \end{aligned} $$

Her terimin türevini ayrı aldık. Sabit $-7$'nin değişimi olmadığı için türevi sıfır oldu ve sonuçta görünmedi.

Kuvvet Kuralı Nereden Gelir?

Polinom Fonksiyonları makalesinde $x^n$ biçimindeki kuvvetlerle sık sık karşılaşmıştık. Pozitif tam sayı $n$ için kuvvet kuralı şöyledir:

$$ \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} $$

Kuralın nereden geldiğini görmek için türev tanımında $f(x)=x^n$ yazalım:

$$ \frac{d}{dx}x^n =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} $$

$(x+h)^n$ açıldığında ilk terim $x^n$, ikinci terim $nx^{n-1}h$ olur; kalan bütün terimlerde en az $h^2$ bulunur:

$$ (x+h)^n =x^n+nx^{n-1}h +\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n $$

Baştaki $x^n$'ler birbirini götürür. Kalan her terimde ortak bir $h$ vardır; paydayla sadeleşir. $h\to0$ olduğunda hâlâ $h$ içeren terimler sıfıra yaklaşır ve yalnızca $nx^{n-1}$ kalır.

Birkaç örnek:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}x^5&=5x^4,\\ \frac{d}{dx}x&=1,\\ \frac{d}{dx}\frac{1}{x} =\frac{d}{dx}x^{-1}&=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2},\\ \frac{d}{dx}\sqrt{x} =\frac{d}{dx}x^{1/2}&=\frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{aligned} $$

Negatif ve kesirli üslerde de kuvvet kuralı uygun tanım aralıklarında geçerlidir. Ancak fonksiyonun nerede tanımlı olduğunu unutmamalıyız: $1/x$, $x=0$'da; gerçek sayılarda $\sqrt{x}$ ise negatif girdilerde tanımlı değildir. Ayrıca $\sqrt{x}$'in türevi $x=0$'da sonlu değildir.

İki Fonksiyon Çarpılıyorsa: Çarpım Kuralı

Kenarları $f(x)$ ve $g(x)$ olan bir dikdörtgen düşünelim. $x$ değiştiğinde iki kenar da değişebilir; alanın değişiminde her ikisinin payı vardır.

Çarpımın türevinde bu iki katkıyı toplarız:

$$ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $$

Kuralın iki parçası vardır: Önce birinci fonksiyonun değişimini ikinci fonksiyonun mevcut değeriyle, sonra ikinci fonksiyonun değişimini birinci fonksiyonun mevcut değeriyle çarpar ve iki katkıyı toplarız.

$h(x)=x^2(x^3+1)$ için:

$$ \begin{aligned} h'(x) &=(2x)(x^3+1)+x^2(3x^2)\\ &=2x^4+2x+3x^4\\ &=5x^4+2x. \end{aligned} $$

Çarpımı önce açarak sonucu kontrol edebiliriz: $h(x)=x^5+x^2$ fonksiyonunun türevi de $5x^4+2x$'tir.

İki Fonksiyon Bölünüyorsa: Bölüm Kuralı

Pay ve paydanın ikisi de değişiyorsa yalnızca türevlerini bölmek doğru değildir. $g(x)\ne0$ olduğu noktalarda bölüm kuralı şöyledir:

$$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$

Kuralı çarpım kuralından çıkarabiliriz. $q(x)=f(x)/g(x)$ dersek $f(x)=q(x)g(x)$ olur. İki tarafın türevini alalım:

$$ \begin{aligned} f'(x)&=q'(x)g(x)+q(x)g'(x),\\ q'(x)g(x)&=f'(x)-q(x)g'(x). \end{aligned} $$

$q(x)=f(x)/g(x)$ değerini geri yazıp $g(x)$'e böldüğümüzde bölüm kuralını elde ederiz.

Örneğin:

$$ \begin{aligned} q(x)&=\frac{x^2}{x+1},\\ q'(x)&=\frac{2x(x+1)-x^2\cdot1}{(x+1)^2}\\ &=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}. \end{aligned} $$

$x=-1$ için payda sıfırdır; ne asıl fonksiyon ne de türevi bu noktada tanımlıdır.

Üstel, Logaritmik ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar makalesinde Euler sayısı $e$'nin doğal büyümenin özel tabanı olduğunu görmüştük. $e^x$ fonksiyonunun dikkat çekici özelliği, değişim oranının kendi değerine eşit olmasıdır:

$$ \frac{d}{dx}e^x=e^x \qquad \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln(a) $$

İkinci formülde gerçek değerli üstel fonksiyon için $a>0$ ve $a\ne1$ kabul ederiz. Doğal logaritmanın türevi ise:

$$ \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} \qquad(x>0) $$

Gerçek sayılarda $\ln(x)$ yalnızca pozitif $x$ değerlerinde tanımlıdır.

Trigonometri makalesinde sinüs ve kosinüsü birim çember üzerinde tanımış, açıları radyanla ölçmüştük. Açılar radyan cinsindeyken temel türevler:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin(x)&=\cos(x),\\ \frac{d}{dx}\cos(x)&=-\sin(x),\\ \frac{d}{dx}\tan(x)&=\sec^2(x) \end{aligned} $$

Derece kullanılırsa ek bir dönüşüm katsayısı ortaya çıkar. Standart formüllerin bu kadar sade olmasının nedeni radyan ölçüsüdür. $\tan(x)$'in tanımsız olduğu $\pi/2+k\pi$ noktalarında türevinden de söz edemeyiz; burada $k$ herhangi bir tam sayıdır.

Fonksiyonların birbirinin içine yerleştirildiği $\sin(x^2)$ veya $e^{3x+1}$ gibi ifadeler için bir kurala daha ihtiyaç duyacağız. Bu kuralı serinin ilerleyen Zincir Kuralı makalesinde ayrıntılı biçimde kuracağız.

Türevin İşareti Bize Ne Söyler?

Türev yalnızca eğimin büyüklüğünü değil, yönünü de taşır:

$f'(x)>0$ ise fonksiyon o bölgede artar.
$f'(x)<0$ ise fonksiyon o bölgede azalır.
$f'(x)=0$ ise teğet yataydır; fakat bu noktanın türünü anlamak için daha fazla bilgi gerekir.

$f(x)=x^2-6x+5$ fonksiyonunu inceleyelim:

$$ f'(x)=2x-6 $$

Türevin sıfır olduğu noktayı bulalım:

$$ \begin{aligned} 2x-6&=0,\\ x&=3. \end{aligned} $$

$x<3$ olduğunda $2x-6$ negatiftir ve fonksiyon azalır. $x>3$ olduğunda türev pozitiftir ve fonksiyon artar. Fonksiyon azalmaktan artmaya geçtiği için $x=3$ bir minimum noktasıdır. Çıktıyı da bulalım:

$$ f(3)=3^2-6\cdot3+5=-4 $$

Minimum nokta $(3,-4)$'tür. Bunu $f'(3)=0$ eşitliğinden tek başına çıkaramayız; türevin işareti $x=3$'te negatiften pozitife döner.

Kritik Nokta Her Zaman Minimum mudur?

Fonksiyonun tanım kümesinde olup türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik nokta denir. Kritik nokta minimum, maksimum veya bunlardan hiçbiri olabilir.

Farklı sonuçları üç örnekte görelim:

$f(x)=x^2$ için $f'(0)=0$ ve grafik azalmaktan artmaya geçer. $x=0$ yerel minimumdur.
$f(x)=-x^2$ için $f'(0)=0$ ve grafik artmaktan azalmaya geçer. $x=0$ yerel maksimumdur.
$f(x)=x^3$ için $f'(x)=3x^2$ ve $f'(0)=0$'dır; fakat fonksiyon sıfırın iki yanında da artmayı sürdürür. $x=0$ minimum veya maksimum değildir.

Ayrıca bir aralığın en büyük veya en küçük değerini arıyorsak yalnızca kritik noktalara değil, aralığın uç noktalarına da bakmalıyız. Örneğin $f(x)=x$ fonksiyonunun $[0,1]$ aralığında türevi hiçbir yerde sıfır değildir; yine de en küçük değer 0, en büyük değer 1 uç noktalarında alınır.

Değişim Hızının Değişimi: İkinci Türev

Türev fonksiyonunun da türevini alabiliriz. Buna ikinci türev denir ve $f''(x)$ veya $d^2f/dx^2$ ile gösterilir.

Konumu $s(t)$ ile gösterelim. Zamana göre birinci türevi hızdır; hızın türevi de ivmedir:

$$ v(t)=s'(t) \qquad a(t)=v'(t)=s''(t) $$

Örneğin $s(t)=t^3$ ise:

$$ \begin{aligned} v(t)&=3t^2,\\ a(t)&=6t. \end{aligned} $$

Geometrik olarak ikinci türev, eğimin nasıl değiştiğini anlatır. $f''(x)>0$ olduğunda eğimler artma eğilimindedir ve grafik bir kâse gibi yukarı kıvrılır. $f''(x)<0$ olduğunda eğimler azalır ve grafik bir kubbe gibi aşağı kıvrılır.

Fonksiyon $c$ noktasının çevresinde iki kez türevlenebiliyorsa ve $f'(c)=0$ ise ikinci türev yararlı bir test sunar:

$f''(c)>0$ ise $c$ yerel minimumdur.
$f''(c)<0$ ise $c$ yerel maksimumdur.
$f''(c)=0$ ise test karar vermez; başka bir inceleme gerekir.

Hem $x^4$ hem $x^3$ fonksiyonlarının sıfırdaki birinci ve ikinci türevleri sıfırdır. $x^4$'ün orada minimumu vardır, $x^3$'ün yoktur. İkinci türev sıfır çıktığında test karar vermemiş olur.

Her Sürekli Fonksiyonun Türevi Var mıdır?

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir. Sürekli bir fonksiyonun ise bazı noktalarda türevi olmayabilir.

En tanıdık örnek mutlak değer fonksiyonudur:

$$ f(x)=|x| =\begin{cases} -x, & x<0,\\ x, & x\ge0. \end{cases} $$

Fonksiyon $x=0$'da kopmaz ve süreklidir. Ancak sol taraftaki doğrunun eğimi $-1$, sağ taraftaki doğrunun eğimi $+1$'dir:

$$ f'_-(0)=-1 \qquad\text{ve}\qquad f'_+(0)=1 $$

İki yön aynı eğime yaklaşmadığı için $f'(0)$ yoktur. Grafikte bunun karşılığı keskin bir köşedir. Yine de $x=0$, fonksiyonun minimumudur ve türev bulunmadığı için kritik nokta sayılır.

Türevin bulunmadığı başlıca durumlar şunlardır:

Kopukluk: Fonksiyon noktada sürekli değilse orada türevlenemez.
Keskin köşe veya sivri uç: Soldan ve sağdan eğimler uzlaşmaz.
Dikey teğet: Eğim sonlu bir sayıya değil, sınırsız büyüklüğe gider.
Bitmeyen salınım: Yakındaki eğimler tek bir değere yaklaşmaz.

Tek yönlü türev: Bir fonksiyonun tanım kümesinin uç noktasında yalnızca içeriden yaklaşmak mümkün olabilir. Bazı uygulamalarda sağ veya sol türev ayrıca kullanılabilir; ancak iki taraflı klasik türev için iki yönün aynı sonuca ulaşması gerekir.

Yapay Zekâdaki Keskin Köşe: ReLU

Yapay sinir ağlarında sık kullanılan ReLU fonksiyonunun da türevlenemediği bir nokta vardır. ReLU negatif girdileri sıfıra çevirir, pozitif girdileri değiştirmeden geçirir:

$$ \operatorname{ReLU}(x)=\max(0,x) =\begin{cases} 0, & x\le0,\\ x, & x>0. \end{cases} $$

Negatif tarafta grafik yatay olduğu için eğim $0$, pozitif tarafta $y=x$ doğrusu olduğu için eğim $1$'dir:

$$ \operatorname{ReLU}'(x) =\begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases} $$

$x=0$'da soldan eğim $0$, sağdan eğim $1$'dir; klasik türev yoktur. ReLU yine de kullanılabilir. Yazılım kütüphaneleri eğitim hesabını sürdürmek için bu noktada belirli bir değer seçer. Böylece fonksiyonun matematiksel tanımıyla uygulamadaki seçim arasındaki farkı görebiliriz.

Türevle Yaklaşık Hesap Yapmak

Bir eğriye çok yakından baktığımızda, düzgün bir bölüm küçük bir doğru parçasına benzer. Türev bu yerel doğrunun eğimini verdiği için yakın bir fonksiyon değerini yaklaşık hesaplayabiliriz:

$$ f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x $$

$\Delta x$, girdideki küçük değişimdir. Başlangıç değerine $f(x)$, bu adımın yaklaşık etkisini bulmak için eğim $f'(x)$ ile adım $\Delta x$'in çarpımını ekleriz.

$f(x)=x^2$ için $3{,}01^2$ değerini yaklaşık bulalım:

$$ \begin{aligned} f(3)&=9,\\ f'(3)&=2\cdot3=6,\\ \Delta x&=0{,}01,\\ f(3{,}01)&\approx9+6\cdot0{,}01=9{,}06. \end{aligned} $$

Gerçek değer $3{,}01^2=9{,}0601$'dir. Yaklaşım yalnızca $0{,}0001$ kadar yanıldı. Adım büyüdükçe eğrinin kıvrımı daha belirgin hale gelir ve teğet yaklaşımının hatası genellikle artar.

Türev, yakın bir girdideki değeri tahmin etmek için de kullanılabilir.

Formül Yoksa Türev Yaklaşık Bulunabilir mi?

Bazen elimizde açık bir fonksiyon formülü değil, yalnızca ölçülmüş değerler veya fonksiyonu çalıştıran bir program bulunur. Bu durumda küçük ama sıfır olmayan bir $h$ seçerek türevi yaklaşık hesaplayabiliriz:

$$ f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Bu yönteme ileri fark yaklaşımı denir. Noktanın iki yanını kullanan merkezi fark çoğu düzgün fonksiyonda daha iyi bir yaklaşım sağlar:

$$ f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} $$

$f(x)=x^2$, $x=2$ ve $h=0{,}1$ için merkezi farkı kullanalım:

$$ \frac{f(2{,}1)-f(1{,}9)}{0{,}2} =\frac{4{,}41-3{,}61}{0{,}2} =4 $$

Bu örnekte tam sonucu bulduk; başka fonksiyonlarda merkezi fark yaklaşık sonuç verir. $h$'yi küçültmek genellikle yaklaşımı iyileştirir. Bilgisayarda ise birbirine çok yakın sayıları çıkarmak, sınırlı sayı hassasiyeti yüzünden yuvarlama hatasını büyütebilir.

Modern yapay zekâ araçları eğitim sırasında milyonlarca türevi genellikle bu tür sayısal denemelerle değil, işlemlerin türev kurallarını izleyen otomatik türev yöntemleriyle hesaplar. Bu mekanizmanın nasıl çalıştığını Zincir Kuralı ve geriye yayılım konularında göreceğiz.

Yapay Zekâ Gözüyle Türev

Bir yapay zekâ modeli eğitim sırasında tahmin üretir ve bu tahmin ile doğru cevap arasındaki farkı bir kayıp veya maliyet fonksiyonu ile sayıya dönüştürür. Modelin ayarlanabilir sayılarından birine $w$, maliyetine de $J(w)$ diyelim.

Basit bir örnek kullanalım:

$$ J(w)=(w-3)^2 $$

Bu fonksiyonun en küçük değeri $w=3$'tedir. Modelin başlangıçta bunu bilmediğini ve $w=1$ noktasında bulunduğunu düşünelim. Türev:

$$ J'(w)=2(w-3) $$

$w=1$ için:

$$ J'(1)=2(1-3)=-4 $$

Türev negatiftir. Bu, $w$'yi biraz artırdığımızda maliyetin azalacağını söyler. $w=5$ noktasında ise:

$$ J'(5)=2(5-3)=4 $$

Türev pozitiftir; maliyeti azaltmak için bu kez $w$'yi küçültmek gerekir. $w=3$'te $J'(3)=0$ olur ve parabolün dibine ulaşırız.

Türev, modelin bulunduğu noktada küçük bir ayar değişikliğinin hatayı hangi yönde etkileyeceğini söyler. Model bu bilgiyi tekrar tekrar kullanarak hatayı azaltabilir.

Gerçek modellerde yalnızca bir $w$ değil, çok sayıda ağırlık ve kaydırma bulunur. Matrisler makalesinde gördüğümüz $\mathbf{W}\mathbf{x}+\mathbf{b}$ hesabındaki her ayarlanabilir sayının hataya etkisini ölçmek gerekir. Tek değişkenli türev bu fikrin başlangıcıdır; birden fazla değişken için kısmi türevler ve bu türevleri bir vektörde birleştiren gradyan kullanılacaktır.

Türevin yön göstermesi, her maliyet fonksiyonunda kolayca en iyi sonuca ulaşılacağı anlamına gelmez. Düz bölgeler, birden fazla çukur, keskin köşeler ve yanlış büyüklükte adımlar eğitimi zorlaştırabilir. Bunlar ileride optimizasyon ve gradyan inişi konularında ayrıca incelenecektir.

Türevde Sık Yapılan Hatalar

Ortalama değişimi anlık değişim sanmak: İki ayrı noktanın eğimi sekanta aittir. Anlık değişim için noktalar arasındaki uzaklığın sıfıra yaklaşan limitini almalıyız.
Limitte doğrudan $h=0$ yazmak: Bu işlem $0/0$ belirsizliği doğurur. Önce $h\ne0$ iken ifade sadeleştirilir, sonra limit alınır.
$f'(x)$ ile $f'(a)$'yı karıştırmak: İlki her uygun girdiye türev değeri veren fonksiyon, ikincisi tek bir noktadaki sayıdır.
Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak: Genel olarak $(fg)'\ne f'g'$; çarpım kuralındaki iki katkı birlikte kullanılmalıdır.
Bölümün türevini türevlerin bölümü sanmak: Genel olarak $(f/g)'\ne f'/g'$; ayrıca paydanın sıfır olmadığı kontrol edilmelidir.
Türev sıfırsa mutlaka minimum demek: Nokta maksimum veya yatay geçiş noktası olabilir. İşaret değişimi, ikinci türev ve gerekirse uç noktalar incelenmelidir.
Kritik noktayı yalnızca $f'(x)=0$ çözümleri sanmak: Fonksiyonun tanımlı olduğu halde türevin bulunmadığı noktalar da kritik olabilir.
Süreklilik ile türevlenebilirliği aynı sanmak: Türevlenebilirlik sürekliliği getirir; fakat $|x|$ örneğinde olduğu gibi sürekli bir fonksiyonun keskin köşede türevi olmayabilir.
Trigonometrik formüllerde derece kullanmak: Standart $(\sin x)'=\cos x$ formülü, $x$ radyan cinsindeyken geçerlidir.
Tanım kümesini unutmak: Cebirsel türev formülü, asıl fonksiyonun tanımsız olduğu noktaları geçerli hale getirmez.
Sayısal türevde en küçük $h$'nin daima en iyi olduğunu düşünmek: Çok küçük değerler bilgisayarın yuvarlama hatasını büyütebilir.

Bir Fonksiyonun Türevini İncelerken İzlenecek Yol

Fonksiyonun tanım kümesini belirleyin. Hangi girdilerin izinli olduğunu bilmeden türev hakkında eksiksiz konuşamayız.
Ne aradığınızı ayırın. İki nokta arasındaki ortalama oran mı, tek noktadaki türev mi gerekiyor?
Uygun türev kuralını seçin. Toplam, çarpım, bölüm ve kuvvet yapılarını dikkatle ayırın.
Sonucu sadeleştirin ama koşulları koruyun. Özellikle payda, kök ve logaritma kısıtlarını kaybetmeyin.
İşareti yorumlayın. Pozitif türev artışı, negatif türev azalışı gösterir.
Kritik noktaları sınıflandırın. Yalnızca türevi sıfıra eşitlemekle kalmayın; işaret değişimine, ikinci türeve ve uç noktalara bakın.
Birim ve anlam kontrolü yapın. Bulduğunuz sayı gerçekte hangi değişimin hangi değişkene göre hızını anlatıyor?

Sonuç

İki nokta arasındaki ortalama değişim oranından başlayıp noktaları birbirine yaklaştırarak anlık değişim oranına ulaştık. Bu oran geometrik olarak teğet eğimini, hareket probleminde anlık hızı ve bir modelde küçük bir ayarın sonuç üzerindeki etkisini anlatır. $x^2$ fonksiyonunun türevini limit tanımından çıkardık; ardından sabit, kuvvet, toplam, çarpım ve bölüm kurallarını inceledik. Üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların temel türevlerini de önceki bilgilerimizle birleştirdik.

Türevin işaretinden fonksiyonun artıp azaldığını, kritik noktaların neden otomatik olarak minimum olmadığını ve ikinci türevin eğimin değişimini nasıl anlattığını öğrendik. Sürekli olduğu halde keskin bir köşede türevlenemeyen mutlak değer fonksiyonu, süreklilik ile türevlenebilirlik arasındaki önemli farkı gösterdi. Yerel doğrusal yaklaşım ve sayısal farklar sayesinde türevin yaklaşık hesaplamalarda nasıl kullanıldığını da gördük.

Yapay zekâ modelinde hatayı azaltmak için küçük bir parametre değişikliğinin hatayı hangi yönde etkileyeceğini bilmek gerekir. Tek değişkenli türev bu bilgiyi verir. Kısmi türevler ve gradyanla aynı hesabı çok sayıda parametreye taşıyacağız.

Türevle bir büyüklüğün o anda ne hızla değiştiğini bulduk. Bir sonraki İntegral makalesinde küçük değişimleri biriktirip toplamı hesaplayacağız. Değişim ve birikim arasındaki ilişki, Kalkülüsün iki temel fikrini birbirine bağlayacak.

Yazar: Levent KARAGÖL

Gösterim	Anlamı
\(f'(x)\)	Lagrange gösterimi; “f türev x” veya “f prime x” diye okunur.
\(\dfrac{dy}{dx}\)	\(y\)'nin \(x\)'e göre değişim oranını vurgular.
\(\dfrac{d}{dx}f(x)\)	“\(f(x)\)'in \(x\)'e göre türevini al” işlemini gösterir.
\(D_xf(x)\)	Türev işlemini \(D\) harfiyle gösterir.